Σύνολα

[labrosb]

Πως αποδεικνύεται ότι: εάν ,για όλα τα , τότε , είναι το κενό σύνολο

Ας υποθέσουμε ότι δεν είναι κενό τότε υπάρχει χ και

Αλλά δεν μπορώ να φτάσω σε μία αντίφαση

[llenny]

Δεν αρκεί να ισχυέι η υπόθεση και μόνο για το κενό σύνολο ; (Το edit για συντακτικό.)

[Mihalis_Lambrou]

Πως αποδεικνύεται ότι: εάν ,για όλα τα , τότε , είναι το κενό σύνολο

Ας υποθέσουμε ότι δεν είναι κενό τότε υπάρχει χ και

Αλλά δεν μπορώ να φτάσω σε μία αντίφαση

Η άσκηση είναι απλούστατη.

Υπόδειξη για πρώτη λύση: Πάρε ίσον το κενό σύνολο και δες τι σου δίνει η υπόθεση. (Προσθήκη αργότερα: Τώρα διαπίστωσα ότι ουσιαστικά αυτό σου λέει ο llenny παραπάνω).

Υπόδειξη για δεύτερη λύση με βάση το ξεκίνημα που έκανες: Πήρες λοιπόν . Πάρε και ένα . Εξέτασε τώρα το σύνολο .

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.

[labrosb]

Πως αποδεικνύεται ότι: εάν ,για όλα τα , τότε , είναι το κενό σύνολο

Ας υποθέσουμε ότι δεν είναι κενό τότε υπάρχει χ και

Αλλά δεν μπορώ να φτάσω σε μία αντίφαση

Η άσκηση είναι απλούστατη.

Υπόδειξη για πρώτη λύση: Πάρε ίσον το κενό σύνολο και δες τι σου δίνει η υπόθεση. (Προσθήκη αργότερα: Τώρα διαπίστωσα ότι ουσιαστικά αυτό σου λέει η llenny παραπάνω).

Υπόδειξη για δεύτερη λύση με βάση το ξεκίνημα που έκανες: Πήρες λοιπόν . Πάρε και ένα . Εξέτασε τώρα το σύνολο .

Θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου.

Μα έαν πάρω Aυτόματα έχουμε μια αντίφαση και από μια αντίφαση μπορούμε να συμπεράνουμε οτιδήποτε,δηλαδή

[labrosb]

Αντιπαράδειγμα:

{ } {}

Το πρόβλημα είναι στην σελίδα 19 του βιβλίου : SET THEORY AND LOGIC By ROBERT S. STOLL

Δυστυχώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πίνακες αληθείας για τον κατηγορηματικό λογισμό

[Mihalis_Lambrou]

Αντιπαράδειγμα:

{ } {}

Το πρόβλημα είναι στην σελίδα 19 του βιβλίου : SET THEORY AND LOGIC By ROBERT S. STOLL

Δυστυχώς δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πίνακες αληθείας για τον κατηγορηματικό λογισμό

Δεν είναι αντιπαράδειγμα στο αρχικό σου πρόβλημα (στο πρώτο ποστ). Χρησιμοποίησες ένα και όχι όλα όπως λέει η εκφώνηση.

Αν επρόκειτο για αντιπαράδειμα θα έπρεπε να έδινες ένα διάφορο του κενού για το οποίο ισχύει η υπόθεση ΓΙΑ ΚΑΘΕ . Δεν έκανες κάτι τέτοιο.
Για αντιπαράδειγμα ΔΕΝ ΕΧΕΙΣ επλογή του , αλλά μόνο του .

[labrosb]

Αντιπαράδειγμα:

{ } {}

Αν επρόκειτο για αντιπαράδειμα θα έπρεπε να έδινες ένα διάφορο του κενού για το οποίο ισχύει η υπόθεση

Επειδή έχω πρόβλημα με τις αγκύλες και το Latex θα γράψω το αντιπαράδειγμα χωρίς Latex.

Β δεν είναι κενό αλλά

Β={1}

Αλλο αντιπαράδειγμα:

Α={1,2,3,4}...................................Β={2,3}

Α={1,2,3}.....................................Β={1,2}

Α={1}...........................................Β={1} κ.τ.λ

Εξάλλου είναι ισοδύναμο με

[Mihalis_Lambrou]

Επειδή έχω πρόβλημα με τις αγκύλες και το Latex θα γράψω το αντιπαράδειγμα χωρίς Latex.

Β δεν είναι κενό αλλά

Β={1}

Αλλο αντιπαράδειγμα:

Α={1,2,3,4}...................................Β={2,3}

Α={1,2,3}.....................................Β={1,2}

Α={1}...........................................Β={1} κ.τ.λ

Εξάλλου είναι ισοδύναμο με

.
Πάλι τα ίδια. Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Αν επρόκειτο για αντιπαράδειμα θα έπρεπε να έδινες ένα διάφορο του κενού για το οποίο ισχύει η υπόθεση ΓΙΑ ΚΑΘΕ . Δεν έκανες κάτι τέτοιο. Για αντιπαράδειγμα ΔΕΝ ΕΧΕΙΣ επλογή του , αλλά μόνο του .

Σε όλα τα παραδείγματα επιλέγεις κάποιο για το εκάστοτε . Όμως η άσκσηση λέει ότι πρέπει να ισχύει για κάθε . Με άλλα λόγια, χειριζόμενος το σωστό θα βγάλεις το ζητούμενο αποδεικτέο. Όλα τα παραδείγματα που δίνεις απλά λένε ότι το που επέλεξες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ για το αποδεικτέο.

Ας δούμε ένα παράδειγμα ώστε να καταλάβουμε γιατί αυτά που γράφεις δεν λειτουργούν. Έχεις πάρει για παράδειγμα



Εδώ πράγματι ισχύει . Άν όμως έπαιρνες

τότε θα είχαμε



Δηλαδή το σου ΔΕΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ τις προϋποθέσεις της άσκησης οπότε ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ στην άσκηση.

Και για να κλείνω δίνω απόδειξη του αποδεικτέου, αν και είναι τόσο απλό που δεν ξέρω γιατί κολλάμε. Ζητώ συγνώμη από τους αναγνώστες, αλλά θα είμαι κάπως αναλυτικός για την αξία της άσκησης.

Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων, θέλουμε να δείξουμε ότι αν για κάθε ισχύει , τότε .

Απόδειξη: Για το αυτό και για κάθε ισχύει

........ (το ισχύει για όλα τα σύνολα, το είναι η υπόθεσή μας.)

Δηλαδή δείξαμε ότι το ειναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Άρα το είναι το κενό: Αυτό είναι άμεσο αλλά αν θέλουμε να το δούμε χειροποιαστά, μπορούμε να εφαρμόσουμε το συμπέρασμά μας στο , οπότε

........ (το ισχύει για όλα τα σύνολα, το ισχύει από αυτό που δείξαμε.)

Δηλαδή

Άρα, εξ ορισμού, , όπως θέλαμε.

Κλείνω προσθέτοντας ότι υπάρχουν και άλλες αποδείξεις του ιδίου, εξ ίσου απλές.

[labrosb]

Επειδή έχω πρόβλημα με τις αγκύλες και το Latex θα γράψω το αντιπαράδειγμα χωρίς Latex.

Β δεν είναι κενό αλλά

Β={1}

Αλλο αντιπαράδειγμα:

Α={1,2,3,4}...................................Β={2,3}

Α={1,2,3}.....................................Β={1,2}

Α={1}...........................................Β={1} κ.τ.λ

Εξάλλου είναι ισοδύναμο με

.
Πάλι τα ίδια. Κάνω άλλη μία προσπάθεια.

Αν επρόκειτο για αντιπαράδειμα θα έπρεπε να έδινες ένα διάφορο του κενού για το οποίο ισχύει η υπόθεση ΓΙΑ ΚΑΘΕ . Δεν έκανες κάτι τέτοιο. Για αντιπαράδειγμα ΔΕΝ ΕΧΕΙΣ επλογή του , αλλά μόνο του .

Σε όλα τα παραδείγματα επιλέγεις κάποιο για το εκάστοτε . Όμως η άσκσηση λέει ότι πρέπει να ισχύει για κάθε . Με άλλα λόγια, χειριζόμενος το σωστό θα βγάλεις το ζητούμενο αποδεικτέο. Όλα τα παραδείγματα που δίνεις απλά λένε ότι το που επέλεξες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ για το αποδεικτέο.

Ας δούμε ένα παράδειγμα ώστε να καταλάβουμε γιατί αυτά που γράφεις δεν λειτουργούν. Έχεις πάρει για παράδειγμα



Εδώ πράγματι ισχύει . Άν όμως έπαιρνες

τότε θα είχαμε



Δηλαδή το σου ΔΕΝ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ τις προϋποθέσεις της άσκησης οπότε ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ στην άσκηση.

Και για να κλείνω δίνω απόδειξη του αποδεικτέου, αν και είναι τόσο απλό που δεν ξέρω γιατί κολλάμε. Ζητώ συγνώμη από τους αναγνώστες, αλλά θα είμαι κάπως αναλυτικός για την αξία της άσκησης.

Προς αποφυγήν παρεξηγήσεων, θέλουμε να δείξουμε ότι αν για κάθε ισχύει , τότε .

Απόδειξη: Για το αυτό και για κάθε ισχύει

........ (το ισχύει για όλα τα σύνολα, το είναι η υπόθεσή μας.)

Δηλαδή δείξαμε ότι το ειναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Άρα το είναι το κενό: Αυτό είναι άμεσο αλλά αν θέλουμε να το δούμε χειροποιαστά, μπορούμε να εφαρμόσουμε το συμπέρασμά μας στο , οπότε

........ (το ισχύει για όλα τα σύνολα, το ισχύει από αυτό που δείξαμε.)

Δηλαδή

Άρα, εξ ορισμού, , όπως θέλαμε.

Κλείνω προσθέτοντας ότι υπάρχουν και άλλες αποδείξεις του ιδίου, εξ ίσου απλές.

Ο Συγγραφέας διατυπώνει στην σελίδα 17 το : Αυτό είναι ισοδύναμο με :

Το οποίο είναι ισοδύναμο με ΚΑΙ δεν χρειάζεται ούτε καν απόδειξη

Στην σελίδα 19 ζητάει να αποδείξουμε
Συμφωνείς;;

[Mihalis_Lambrou]

Ο Συγγραφέας διατυπώνει στην σελίδα 17 το : Αυτό είναι ισοδύναμο με :

Το οποίο είναι ισοδύναμο με ΚΑΙ δεν χρειάζεται ούτε καν απόδειξη

Στην σελίδα 19 ζητάει να αποδείξουμε
Συμφωνείς;;

Τώρα είναι που με μπέρδεψες τελείως.

Τόσην ώρα έλεγες ότι δεν ισχύει το αποτέλεσμα και μας έδινες αντιπαραδείγματα (τρόπος του λέγειν) ότι είναι εσφαλμένο. Ξαφνικά λες ότι ισχύει το αποτέλεσμα και ότι είναι τόσο απλό που δεν χρειάζεται απόδειξη. Άσε που στο πρώτο ποστ δηλώνεις, αντίθετα, αδυναμία να αποδείξεις το ζητούμενο.

Το ότι είναι πάρα πολύ απλό το αποτέλεσμα, το ξέρω και το έχω πει τόσες φορές. Αφού απολογούμαι στους αναγνώστες που γράφω αναλυτικά μία τόσο απλή απόδειξη. Άλλωστε καταλήγω στο ότι υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, εξ ίσου απλές. Προς τι λοιπόν τόση φασαρία και ερώτημα αν συμφωνώ; Προς τι να συμφωνήσω; Στο ότι το θέμα είναι απλούστατο; Συμφωνώ!

Εσύ συμφωνείς ότι τα "αντιπαραδείγματά" σου ήταν λάθος;

[labrosb]

Ο Συγγραφέας διατυπώνει στην σελίδα 17 το : Αυτό είναι ισοδύναμο με :

Το οποίο είναι ισοδύναμο με ΚΑΙ δεν χρειάζεται ούτε καν απόδειξη

Στην σελίδα 19 ζητάει να αποδείξουμε
Συμφωνείς;;

Τώρα είναι που με μπέρδεψες τελείως.

Τόσην ώρα έλεγες ότι δεν ισχύει το αποτέλεσμα και μας έδινες αντιπαραδείγματα (τρόπος του λέγειν) ότι είναι εσφαλμένο. Ξαφνικά λες ότι ισχύει το αποτέλεσμα και ότι είναι τόσο απλό που δεν χρειάζεται απόδειξη. Άσε που στο πρώτο ποστ δηλώνεις, αντίθετα, αδυναμία να αποδείξεις το ζητούμενο.

Το ότι είναι πάρα πολύ απλό το αποτέλεσμα, το ξέρω και το έχω πει τόσες φορές. Αφού απολογούμαι στους αναγνώστες που γράφω αναλυτικά μία τόσο απλή απόδειξη. Άλλωστε καταλήγω στο ότι υπάρχουν και άλλες αποδείξεις, εξ ίσου απλές. Προς τι λοιπόν τόση φασαρία και ερώτημα αν συμφωνώ; Προς τι να συμφωνήσω; Στο ότι το θέμα είναι απλούστατο; Συμφωνώ!

Εσύ συμφωνείς ότι τα "αντιπαραδείγματά" σου ήταν λάθος;

Νόμισα ότι ο συγγραφέας ζητούσε να αποδείξουμε: για αυτό και τα λάθος αντιπαραδείγματα ,ενώ ο συγγραφέας ζητούσε λανθασμένα .Εδώ έχουμε μια μεταβλητή Β για την οποία δεν υπάρχει ποσοδείκτης πράγμα που οδηγεί σε λανθασμένες ερμηνείες
Η σωστή διατύπωση θα έπρεπε να είναι :Εάν υπάρχει τέτοιο ώστε για όλα τα , τότε
Και η απόδειξη τώρα είναι η εξής: ούτε καν απόδειξη

Έχουμε:
Βάλε Και έχουμε
Συγνώμη για την ταλαιπωρία αλλά το λάθος ανήκει εν μέρει και στον συγγραφέα

[Mihalis_Lambrou]

Και η απόδειξη τώρα είναι η εξής: ούτε καν απόδειξη

Έχουμε:
Βάλε Και έχουμε
Συγνώμη για την ταλαιπωρία αλλά το λάθος ανήκει εν μέρει και στον συγγραφέα

Σωστά. Αν προσέξεις, αυτήν ακριβώς την απόδειξη έγραψα εκτός από το γεγονός ότι ήμουν αναλυτικός σε υπερθετικό βαθμό.