Διαρορι-κούλα 92 (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ-ΔΙΑΦΟΡ.ΛΟΓ)

mathxl · #1

Να βρείτε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \to R$ που είναι τέτοια ώστε $f\left( 0 \right) = 1$ , $f'\left( 0 \right) = 1$ και για κάθε $x \in R$ ισχύει
$\displaystyle\ {e^{f''\left( x \right)}} - \left| {\sigma \upsilon \nu f''\left( x \right)} \right| \cdot \sigma \upsilon {\nu ^2}f''\left( x \right) \le f''\left( x \right)$

Μέχρι 17-2-2013 διαφορικός λογισμός γ λυκείου.

Grigoris K. · #2

Ευχαριστώ

.

Ισχύει $\displaystyle{ e^{f''(x)} \leq f''(x) + |\cos f''(x)| \cdot \cos^2 f''(x) \leq f''(x) + 1 \implies f''(x) = 0 }$ (από τη γνωστή ανισότητα)

Συνεπώς $\displaystyle{ f'(x) = c_1 \implies f'(x) = 1 \implies (f(x) - x)' = 0 \implies f(x) - x = c_2 \implies f(x) = x+ 1 }$ .

mathxl · #3

ωραίος και πάλι αφού δεν "ψάρωσες" από την τριγωνομετρική ασχήμια

. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν στην υπόθεση με τις ίδιες αρχικές συνθήκες έχουμε ${e^{f''\left( x \right)}} - \left| {\eta \mu f''\left( x \right)} \right| \cdot \eta {\mu ^2}f''\left( x \right) \le f''\left( x \right)$ ;;

Grigoris K. · #4

mathxl έγραψε:Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα αν στην υπόθεση με τις ίδιες αρχικές συνθήκες έχουμε ${e^{f''\left( x \right)}} - \left| {\eta \mu f''\left( x \right)} \right| \cdot \eta {\mu ^2}f''\left( x \right) \le f''\left( x \right)$ ;;

Η απάντηση είναι αρνητική. Αν και ομοίως με παραπάνω λαμβάνουμε $\displaystyle{ f''(x) = 0 }$ κάνοντας μία επαλήθευση προκύπτει ότι $\displaystyle{ 1 \leq 0 }$ ...

mathxl · #5

XLend! Πάμε για μια τελευταία...θα την μαγειρέψω λίγο παραπάνω...(κάποια λεπτά...έχω την ιδέα αλλά όχι την διαφορική).

bboybast · #6

Στη λύση του Γρηγόρη γιατί πήραμε μόνο την ισότητα(από την ανισότητα που γράφει).

Bill K · #7

Διότι ισχύει γενικά $e^x \geq x+1$ άρα θα ισχύει μόνο η ισότητα.

bboybast · #8

Γιατί μόνο η ισότητα αυτό δεν κατάλαβα.

mathxl · #9

Ο Γρηγόρης έχει δείξει ότι ${e^{f''\left( x \right)}} \le f''\left( x \right) + 1$ και ξέρουμε από γνωστή ανισότητα ότι ${e^{f''\left( x \right)}} \ge f''\left( x \right) + 1$ με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν $f''\left( x \right) = 0$ . Δηλαδή έδειξε ότι
$f''\left( x \right) + 1 \ge {e^{f''\left( x \right)}} \ge f''\left( x \right) + 1 \Rightarrow {e^{f''\left( x \right)}} = f''\left( x \right) + 1 \Rightarrow f''\left( x \right) = 0$ κτλ.

Κάπου είχα ένα διάλογο με τον Θωμά Ποδηματά περί του αν βρούμε το

σε διαφορική από δοσμένη αρχική συνθήκη δεν χρειάζεται επαλήθευση. Η δεύτερη διαφορική δείχνει ότι χρειάζεται. Συγκεκριμένα χρειάζεται ο έλεγχος όλων των προυποθέσεων

mathxl · #10

bboybast έγραψε:Γιατί μόνο η ισότητα αυτό δεν κατάλαβα.

Επίσης μερικοί τρόποι απόδειξης της "γνωστής" ανισότητας μπορούν να βρεθούν και εδώ viewtopic.php?f=53&t=13654

constantinos · #11

$f:[0,2] \to \mathbb{R}$ συνεχης,και παραγωγισιμη στο (0,2)

,

και

.Αν η

εχει μοναδικη ριζα το 1,να βρειτε την μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της

.

mathxl · #12

Καλό θα ήταν να την βάλεις σε καινούργια δημοσίευση. Από θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα έχουμε λόγω της συνέχειας σε ένα κλειστό διάστημα την ύπαρξη ελάχιστης τιμής και μέγιστης. Από την στιγμή που οι τιμές στα άκρα είναι ίσες τότε υποχρεωτικά το ένα από τα ακρότατα θα εμφανίζεται σε εσωτερικό σημείο. Σε αυτό το εσωτερικό σημείο από θεώρημα Φερμάτ θα μηδενίζει η παράγωγος και αυτό συμβαίνει μόνο στο 1. Συμπεραίνουμε ότι το ένα ακρότατο είναι στην θέση 1 με τιμή 2. Αν το άλλο ακρότατο δεν εμφανίζονταν στα άκρα αλλά σε κάποιο εσωτερικό σημείο τότε θα όφειλε η πρώτη παράγωγος από θεώρημα Φερμάτ να μηδενίζει στην θέση αυτή. όπως είδαμε αυτό συμβαίνει μόνο στην θέση 1.
Άρα λοιπόν, αν και τα δύο ακρότατα παρουσιάζονται στην θέση 1, τότε η συνάρτηση μας θα ήταν σταθερή με τιμή 2 παντού και η πρώτη παράγωγος δεν θα είχε μοναδική ρίζα...άρα δεν γίνεται να έχουμε ως θέση και του άλλου ακροτάτου το 1. Συνεπώς το άλλο ακρότατο εμφανίζεται στα άκρα. Αν έδινες την τιμή στα άκρα θα βρίσκαμε και το είδος των ακροτάτων ...

constantinos · #13

ΟΚ,ευχαριστω!...

mathxl · #14

Μήπως η άσκηση είναι από κάποιο βοήθημα που πρέπει να αναφέρουμε και να δώσουμε και την τιμή στα άκρα για λόγους πληρότητας;;

Διαρορι-κούλα 92 (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ-ΔΙΑΦΟΡ.ΛΟΓ)

Διαρορι-κούλα 92 (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ-ΔΙΑΦΟΡ.ΛΟΓ)

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Re: Διαρορι-κούλα 92

Μέλη σε σύνδεση