Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

#1

Βρείτε την μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός |11^m-5^n|

, όπου

θετικοί φυσικοί αριθμοί.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας. Την προορίζω για μαθητές Γυμνασίου ή Λυκείου. Λύνεται με την μέθοδο ... αχά. Δεν χρειάζεται πολύ φασαρία για την λύση της (δυο-τρεις γραμμές) αλλά περισσότερο σκέψη έξω από το κουτί. Είναι από παλιό Διαγωνισμό Καγκουρό.

Manolis Petrakis · #2

Ο

είναι άρτιος διότι 11^m,5^n

περιττοί.
Άρα $|11^m-5^n|\neq 1$ (1)

Το

αφήνει υπόλοιπο

στη διαίρεση με το

, άρα το

αφήνει υπόλοιπο $\pm 1$ άρα είναι της μορφής $5k\pm 1$
Έτσι λόγω της $(1), |11^m-5^n|_{min}=5-1=4$ (για παράδειγμα στην περίπτωση (m,n)=(2,3)

)

#3

Πιο απλά: Ο αριθμός 11^m

λήγει σε

και ο

σε

. Άρα η διαφορά |11^m-5^n|

είναι τουλάχιστον

. Αφού

, έπεται ότι το ζητούμενο ελάχιστο είναι

.

#4

Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα:

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη):

α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Αλέξανδρος

Manolis Petrakis · #5

cretanman έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 6:01 pm
Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα:

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη):

α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Αλέξανδρος

Για το

:
Ο

λήγει σε

ή

άρα ο

λήγει σε

ή

$\Rightarrow$ πιθανές τιμές $A\leq 11:1,9,11 (1)$
Είναι A=11

για

Αν

τότε

ή

•Αν $A=9\Leftrightarrow |20^m −9^n|=9\Leftrightarrow 20^m=\pm 9+9^n$
Αλλά $9/\pm 9+9^n\Leftrightarrow 9/20^m$ αδύνατο
•Αν $A=1\Leftrightarrow |20^m −9^n|=1$
Αν $20^m>9^n\Leftrightarrow 20^m-1=9^n$ όπου $20^m-1\equiv 0(mod19)\Leftrightarrow 9^n\equiv 0(mod19)$ αδύνατο
•Αν $20^m<9^n\Leftrightarrow 20^m+1=9^n$ από mod3

παίρνουμε

έτσι:
$20^m+1\equiv 0(mod7)\Leftrightarrow 7/9^n$ αδύνατο
Έτσι $A_{min}=11$
*Έχετε δίκιο κύριε Αλεξανδρε μόλις το διόρθωσα

Filippos Athos · #6

cretanman έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 6:01 pm
Δύο ασκήσεις στο ίδιο πνεύμα:

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή κάθε μίας από τις παραστάσεις (η πρώτη πιο απλή, η δεύτερη πιο σύνθετη):

α) $A=\displaystyle{ |20^m −9^n|,}$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

β) $B=\left|3^n+7^n-25^m\right|$ , όπου $m,\,n \in \mathbb N^*$ .

Αλέξανδρος

Για το β)

Προφανώς $B\equiv 0mod 3$
ελέγχωντας mod8

στις περιπτώσεις οπου

αρτιος και περιττός, $B\equiv \pm 1mod8$

Ο πρώτος αριθμός που ικανοποιεί τις συνθήκες είναι το

δηλαδή $3^{n}+7^{n}-25^{m}=\pm 9 (mod10)\Rightarrow 3^{n}+(-3)^{n}-5^{m}\equiv \pm 1(mod10)$

αν

περιττός τότε
$-5^{m}\equiv \pm 1(mod10)\Rightarrow 5\equiv \pm 1(mod10)$ άτοπο

άρα n=2k

$(3^{2})^{k}+(7^{2})^{k}-25^{m}\equiv \pm 9(mod10)\Rightarrow 2(-1)^{k}-5\equiv \pm 1 (mod10)\Rightarrow \pm 3\equiv \pm 1(mod10)$
άτοπο

Οπότε ο αριθμός μας δεν είναι το

,ο επόμενος αριθμός είναι ο

που μπορεί να επιτευχθεί με (n,m)=(1,1)

#7

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 7:42 pm

Και $-9^n\equiv-5,-9(mod19)$

Μανόλη δες ξανά το παραπάνω σημείο το οποίο δεν είναι σωστό και προσπάθησε να βρεις ένα πιο στοιχειώδη τρόπο για να μη χρειαστείς να πάρεις mod με ένα μεγάλο αριθμό όπως το 19 που δεν είναι εύκολο να γίνει "με το χέρι". Το αποτέλεσμα για το ελάχιστο πάντως είναι σωστό!

Αλέξανδρος

#8

Filippos Athos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:44 pm

ελέγχωντας στις περιπτώσεις οπου αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$

Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή:

$a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα).

Έτσι, το minimum της παράστασης

βελτιώνεται! Δες την ξανά.

Αλέξανδρος

Manolis Petrakis · #9

Για το β)
$3^n\equiv 3(mod6),7^n\equiv 1(mod6),-25^m\equiv-1(mod6)$
Προσθέτοντας παίρνουμε: $B\equiv \pm 3(mod6)\equiv 3(mod6) (1)$
Ακόμη για n=2k

παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=9^k+49^k- 25^m\equiv 1^k+1^k-1^m\equiv 1(mod8)$
Για n=2k+1

παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=3\cdot 9^k+7\cdot 49^k-25^m\equiv 3\cdot 1^k-1^k-1^m\equiv 1(mod8)$
Έτσι $B\equiv \pm 1(mod8) (2)$
Ο μικρότερος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί τις (1)

και

είναι ο

(Αδύνατον όπως απέδειξε ο Φίλιππος)
Ο αμέσως επόμενως είναι ο

για

Άρα $B_{min}=15$

#10

Manolis Petrakis έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 17, 2020 12:48 pm
Για το β)
$3^n\equiv 3(mod6),7^n\equiv 1(mod6),-25^m\equiv-1(mod6)$
Προσθέτοντας παίρνουμε: $B\equiv \pm 3(mod6)\equiv 3(mod6) (1)$
Ακόμη για παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=9^k+49^k- 25^m\equiv 1^k+1^k-1^m\equiv 1(mod8)$
Για παίρνουμε $3^n+7^n-25^m=3\cdot 9^k+7\cdot 49^k-25^m\equiv 3\cdot 1^k-1^k-1^m\equiv 1(mod8)$
Έτσι $B\equiv \pm 1(mod8) (2)$
Ο μικρότερος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί τις και είναι ο (Αδύνατον όπως απέδειξε ο Φίλιππος)
Ο αμέσως επόμενως είναι ο για
Άρα $B_{min}=15$

Πολύ ωραία! Συνεργατική λύση!

Αλέξανδρος

miltosk · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:12 pm
Βρείτε την μικρότερη δυνατή τιμή που μπορεί να έχει ο αριθμός , όπου θετικοί φυσικοί αριθμοί.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας. Την προορίζω για μαθητές Γυμνασίου ή Λυκείου. Λύνεται με την μέθοδο ... αχά. Δεν χρειάζεται πολύ φασαρία για την λύση της (δυο-τρεις γραμμές) αλλά περισσότερο σκέψη έξω από το κουτί. Είναι από παλιό Διαγωνισμό Καγκουρό.

Για τους μερακλήδες προτεινω και αυτό;
viewtopic.php?f=58&t=66402&p=321699#p321699 (πρόβλημα 2)
Είναι πιο δύσκολο, δεν νομίζω να λύνεται με σχολική υλη

Filippos Athos · #12

cretanman έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 17, 2020 11:46 am

Filippos Athos έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 15, 2020 8:44 pm

ελέγχωντας στις περιπτώσεις οπου αρτιος και περιττός, πάντα $B\equiv 1mod8$

Φίλιππε, το λάθος κρύβεται στην παραπάνω! Έμμεσα έχεις χρησιμοποιήσει τη συνεπαγωγή:

$a\equiv b\pmod{n} \Rightarrow |a|\equiv |b|\pmod{n}$ που δεν είναι αληθής (δες το με ένα αντιπαράδειγμα).

Έτσι, το minimum της παράστασης βελτιώνεται! Δες την ξανά.

Αλέξανδρος

Ευχαριστώ κατάλαβα το λάθος μου,το διωρθώνω

Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Re: Δυνάμεις ακεραίων κοντά η μία στην άλλη.

Μέλη σε σύνδεση