Ανισότητα

Συντονιστής: polysot

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 5 δημοσιεύσεις • Σελίδα 1 από 1

mick7: Δημοσιεύσεις: 1431; Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Παρ Φεβ 19, 2021 5:41 pm

Να δειχθεί η παρακάτω ανισότητα για $\displastyle x$ θετικά .

$\displaystyle \frac{1}{x^2}+2x\geq3$

(Mε επαρκή αιτιολόγηση)

Διορία 48 ώρες

Λέξεις Κλειδιά:

Ανισότητα

Manolis Petrakis: Δημοσιεύσεις: 209; Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm; Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Φεβ 19, 2021 6:18 pm

Με Α-Γ-Μ είναι:
$\dfrac{1}{x^2}+2x=\dfrac{1}{x^2}+x+x\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2}\cdot x \cdot x}=3$

Manolis Petrakis: Δημοσιεύσεις: 209; Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm; Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Ανισότητα

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Manolis Petrakis » Παρ Φεβ 19, 2021 6:24 pm

Αλλιώς αναλυτικά:
$\dfrac{1}{x^2}+2x\geq 3$
$\Leftrightarrow 1+2x^3\geq 3x^2$
$\Leftrightarrow 2x^3-2x^2-x^2+1\geq 0$
$\Leftrightarrow 2x^2(x-1)-(x-1)(x+1)$
$\Leftrightarrow (x-1)(2x^2-x-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2-x+x^2-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)[x(x-1)+(x-1)(x+1)]\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-1)^2(2x+1)\geq 0$ ισχύει για x>0