10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Σεπ 26, 2011 5:32 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=e^x+x^5-1}

(α) Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} αντιστρέφεται
(β) Να υπολογίσετε το \displaystyle{f^{-1}(e)}

Να λυθούν:

(γ) \displaystyle{f(e^x+1)=f(2-x^5)}
(δ) \displaystyle{e^{2x}-e^x+31x^5=0}
(ε) \displaystyle{e^{f(x)}+f^5(x)-1=f(x^5)}
(στ) \displaystyle{f^{-1}(e^x)}\geq x}
(ζ) \displaystyle{f(x)<f^{-1}(0)}
(η) \displaystyle{f(x^2-1)>f(1-x)}
(θ) \displaystyle{e^{x^2-3}+(x^2-3)^5\leq 1}
(ι) \displaystyle{e^{2x}-x^{10}\leq e^{x^2}-32x^{5}}

εως 17 Νοέμβρη 2011


Δημήτριος Κρικώνης
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 13, 2011 7:17 pm

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτριος Κρικώνης » Τρί Σεπ 27, 2011 9:55 am

α) Η f(x) έχει πεδίο ορισμού το R,επίσης είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγισίμων με πρώτη παράγωγο f'(x)=e^{x}+5x^{4}.f'(x)>0 για κάθε x\in R.Συνεπώς η f γνησίως αύξουσα στο R.H f(x) λοιπόν είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα) και συνεχής άρα και αμφιμονοσήμαντη (1-1),συνεπώς αντιστρέφεται.

β) 'Εχω f(x)=e^{x}+x^{5}-1\Leftrightarrow f^{-1}(f(x))=f^{-1}(e^{x}+x^{5}-1)\Leftrightarrow x=f^{-1}(e^{x}+x^{5}-1) για x=1 παίρνω
1=f^{-1}(e+1-1)\Leftrightarrow f^{-1}(e)=1.

γ) f(e^{x}+1)=f(2-x^{5})\Leftrightarrow e^{x}+1=2-x^{5} ( αφού η f(x) 1-1),ισοδύναμα e^{x}+x^{5}-1=0 δηλαδή f(x)=0.H f(x) γνησίως μονότονη (αύξουσα) και για x=0 έχω f(0)=0.'Αρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης η x=0.


drosi
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Τρί Οκτ 11, 2011 11:45 pm

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από drosi » Τετ Οκτ 12, 2011 12:29 am

ε)Όπου χ βάζω f(x) αρα f(f(x))=e^{f(x)}+(f(x))^{5}-1

Οπότε f(f(x))=f(x^{5}) αφού η f αντιστρέφεται θα είναι και 1-1 αρα

f(f(x))=f(x^{5})\Leftrightarrow f(x)=x^{5}\Leftrightarrow e^{x}+x^{5}-1=x^{5}\Leftrightarrow e^{x}=1\Leftrightarrow x=0


στ)f^{-1}(x)\geq x\Leftrightarrow f(f^{-1}(e^{x}))\geq f(x) αφού η f γν.αυξουσα
e^{x}\geq e^{x}+x^{5}-1\Leftrightarrow x\leq  1

ζ)f(x)<f^{-1}(0)(f γν αυξουσα)\Leftrightarrow fof(x)<0\Leftrightarrow(f(0)=0)fof(x)<f(0)(f γν αύξουσα)\Leftrightarrow f(x)<0\Leftrightarrow e^{x}+x^{5}-1<0

e^{x}+x^{5}-1=0 όταν χ=0 και επειδή ειναι γν αύξουσα η λύση είναι μοναδική.

Και κάνοντας πινακάκι με ριζα το 0 έχουμε x\epsilon(-\infty,0)

θ)e^{x^{2}-3}+(x^{2}-3)^{5}-1\leq 0
f(x^{2}-3)=e^{x^{2}-3}+(x^{2}-3)^{5}-1
f(0)=0
f(x^{2}-3)\leq f(0)(f γν αύξουσα)
x^{2}-3\leq0

x\epsilon (-\sqrt{3},\sqrt{3})
τελευταία επεξεργασία από drosi σε Τετ Οκτ 12, 2011 12:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Orestis
Δημοσιεύσεις: 8
Εγγραφή: Παρ Σεπ 23, 2011 1:53 am

Re: 10 ερωτήματα σε εξισώσεις κι ανισώσεις (ΓΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Orestis » Τετ Οκτ 12, 2011 6:34 pm

ι)e^{2\chi }-\chi ^{10}\leq e^{\chi ^{2}} -32\chi ^{5}\Leftrightarrow e^{2\chi } +32\chi ^{5} +1\leq e^{\chi ^{2}} +\chi ^{10} +1\Leftrightarrow  f(2\chi )\leq f(\chi ^{2}) \Leftrightarrow 2\chi \leq \chi ^{2} \Leftrightarrow \chi (\chi -2)\geq 0\Leftrightarrow \chi \geq 2  \eta  \chi \leq 0
διότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο \Re .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης