Απόδειξη με ταυτότητες

Γιώργος Απόκης · #1

Αν $\displaystyle{a^2+b^2=1}$ να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=(3a-4a^3)^2+(3b-4b^3)^2}$ .

(Άλγεβρα Α' Λυκείου - Μέχρι 8/8/13)

nicklarissa · #2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Αν $\displaystyle{a^2+b^2=1}$ να βρείτε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=(3a-4a^3)^2+(3b-4b^3)^2}$ .

(Άλγεβρα Α' Λυκείου - Μέχρι 8/8/13)

Μάλλον θα υπάρχει και πιο σύντομη λύση από αυτήν που θα δώσω.
A=(3a-4a^3)^2+(3b-4b^3)^2}=

${a}^{2}{(3-4{a}^{2})}^{2}+{(3b-4{b}^{3})}^{2}=$
$(1-{b}^{2}){(3-4(1-{b}^{2}))}^{2}+{(3b-4{b}^{3})}^{2}=$
$(1-{b}^{2}){(4{b}^{2}-1)}^{2}+(3b-4{b}^{3})}^{2}=$
$(1-{b}^{2})(16{b}^{4}-8{b}^{2}+1)+9{b}^{2}-24{b}^{4}+16{b}^{6}=$
$16{b}^{4}-8{b}^{2}+1-16{b}^{6}+8{b}^{4}-{b}^{2}+9{b}^{2}-24{b}^{4}+16{b}^{6}=1$

Γιώργος Απόκης · #3

Ωραία! Υπάρχει πράγματι λίγο πιο σύντομη λύση... Αφήνω να συνεχίσουν οι μαθητές

BAGGP93 · #4

Καλησπέρα στην παρέα.

Δεν ξέρω αν είναι πιο σύντομη η λύση που θα γράψω, αλλά, θεωρώ ότι είναι καλή ιδέα.

Αναπτύσσουμε τα τετράγωνα και έχουμε,

$\displaystyle{\begin{aligned} A&=9\,a^2-24\,a^4+16\,\left(a^2\right)^3+9\,b^2-24\,b^4+16\,\left(b^2\right)^3\\&=9\left(a^2+b^2\right)+16\left(a^2+b^2\right)\left(a^4-a^2\,b^2+b^4\right)-24\left(a^4+b^4\right)\\&=9+16\left[\left(a^2+b^2\right)^2-3\,a^2\,b^2\right]-24\left[\left(a^2+b^2\right)^2-2\,a^2\,b^2\right]\\&=9+16\left(1-3\,a^2\,b^2\right)-24\left(1-2\,a^2\,b^2\right)\\&=9+16-48\,a^2\,b^2-24+48\,a^2\,b^2\\&=1\end{aligned}}$

#5

Ο συντομότερος τρόπος είναι μέσω ταυτοτήτων, τις οποίες, δυστυχώς, οι μαθητές μας δεν διδάσκονται πλέον.

Υπάρχει $\displaystyle{t\in \mathbb{R}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{a=\sin t,~b=\cos t.}$

Με χρήση των ταυτοτήτων $\displaystyle{\boxed{ \boxed{\rm \sin 3t=3\sin t-4\sin ^3t},~\boxed{\rm \cos 3t=4\cos ^3t-3\cos t}}}$

είναι

$\displaystyle{A=(\sin 3t)^2+(\cos 3t)^2=1.}$

BAGGP93 · #6

Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση.

Αν για κάποια $\displaystyle{a\,,b\in\mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{a^2+b^2=1}$ , τότε η ύπαρξη του

$\displaystyle{t\in\mathbb{R}}$ για το οποίο $\displaystyle{a=\sin t\,\,\kappa \alpha \iota\,\,b=\cos t}$ εξασφαλίζεται

από το γεγονός ότι το σημείο $\displaystyle{\left(a,b\right)}$ ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο, και άρα

$\displaystyle{a\,,b\in\left[-1,1\right]}$ , και το γεγονός ότι η συνάρτηση $\displaystyle{x\mapsto \sin x\,,x\in\mathbb{R}}$

είναι συνεχής με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[-1,1\right]}$ ?

Ευχαριστώ.

#7

Αν $\displaystyle{a^2+b^2=1,}$ τότε $\displaystyle{1-a^2=b^2\geq 0\implies a\in [-1,1].}$

Άρα υπάρχει $\displaystyle{t\in \mathbb{R},}$ ώστε $\displaystyle{a=\sin t,}$ οπότε $\displaystyle{b^2=\cos ^2 t}$ .

Τότε, διαλέγουμε ως $\displaystyle{b}$ το $\displaystyle{\cos t}$ και τελειώσαμε.

Γιώργος Απόκης · #8

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Την ιδέα του BAGPP93 είχα στο νου

Απόδειξη με ταυτότητες

Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Re: Απόδειξη με ταυτότητες

Μέλη σε σύνδεση