Διτετράγωνη με παράμετρο

Γιώργος Απόκης · #1

Να δείξετε ότι για κάθε τιμή της θετικής παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$ , η εξίσωση $\displaystyle{x^4-(\lambda+2)x^2+\lambda+1=0}$

έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες, τις οποίες να διατάξετε σε αύξουσα σειρά.

(Άλγεβρα Α - Μέχρι 22/1/15)

manousos · #2

έστω $\displaystyle{x^2 = y}$ (1)

$\displaystyle{y^2 - (l + 2)y + l + 1 = 0}$

Διακρίνουσα = $\displaystyle{(l + 2)^2 - 4(l + 1) = l^2 + 4l + 4 - 4l - 4 = l^2}$

$\displaystyle{y = \frac{l + \sqrt{l^2} + 2}{2} = \frac{l + \left |l \right | + 2}{2} = \frac{2(l + 1)}{2} = l + 1}$ (2)

ή

$\displaystyle{y = \frac{l + 2 - \sqrt{l^2}}{2} = \frac{l + 2 - \left |l \right |}{2} = \frac{l + 2 - l}{2} = 1}$ (3)

από (1), (2), (3) : $\displaystyle{x^2 = 1}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow x = \pm 1}$

ή

$\displaystyle{x^2 = l + 1}$ $\displaystyle{\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{l + 1}}$

Άρα έχουμε τέσσερις ρίζες και ισχύει για αυτές $\displaystyle{- \sqrt{l + 1} < -1 < 1 < \sqrt{l + 1}}$
καθώς $\displaystyle{l}$ θετικό άρα $\displaystyle{l + 1 > 1 \Leftrightarrow \sqrt{l + 1} > 1}$ και $\displaystyle{l + 1 > 1 \Leftrightarrow \sqrt{l + 1} > 1 \Leftrightarrow -\sqrt{l + 1} < -1}$

Γιώργος Απόκης · #3

Διτετράγωνη με παράμετρο

Διτετράγωνη με παράμετρο

Re: Διτετράγωνη με παράμετρο

Re: Διτετράγωνη με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση