Ανισότητα παράγει ισότητα (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

KARKAR · #1

: Ανισότητα παράγει ισότητα.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Το

είναι τυχαίο σημείο τμήματος

( όχι το μέσον ) . Σχεδιάζουμε το τετράγωνο ABDE

στο ένα ημιεπίπεδο και το BCZH

στο άλλο . Ονομάζω

την τομή των BC,DZ

και

εκείνη

των BD , CE

. Δείξτε ότι BS=BT

. Πριν τη λήξη της εβδομάδας ( 20-11-2015

)

manousos · #2

Έστω πλευρά ABDE = a και πλευρά BCZH = b. Τότε από τα όμοια τρίγωνα CTB και CEA έχουμε $\displaystyle{\frac{TB}{a} = \frac{CT}{CE}}$ (1)
Επίσης από το θεώρημα του Θαλή στα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τις ευθείες CZ, DH, AE έχουμε $\displaystyle{\frac{CT}{CE} = \frac{b}{b + a}}$ (2)
Από (1) και (2) λαμβάνουμε ότι $\displaystyle{TB = \frac{ab}{a+b}}$ (3)
Από τα όμοια τρίγωνα DBS και DHZ έχουμε $\displaystyle{\frac{SB}{b} = \frac{DS}{DZ}}$ (4)
Επίσης από το θεώρημα του Θαλή στα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τις ευθείες ED, AC, HZ έχουμε $\displaystyle{\frac{DS}{DZ} = \frac{a}{a+b}}$ (5)
Από (4) και (5) λαμβάνουμε ότι $\displaystyle{SB = \frac{ab}{a+b}}$ (6)
Από (3) και (6) ότι $\displaystyle{SB = TB}$

Ωραία άσκηση, ευχαριστώ.

Ανισότητα παράγει ισότητα (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

Ανισότητα παράγει ισότητα (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

Re: Ανισότητα παράγει ισότητα (Β ΛΥΚ ΓΕΩΜ)

Μέλη σε σύνδεση