Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11712
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 10, 2020 9:51 am

Διπλή  ισότητα.png
Διπλή ισότητα.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC ,(  \hat{A}=90^0 ) , το ύψος AS τέμνει την διχοτόμο BE στο σημείο P .

Φέρουμε AT \perp BE . Δείξτε ότι AP=AE και επίσης TA=TS . Μέχρι 15 Ιουλίου 2020 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7344
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 15, 2020 9:58 am

Διπλή ισότητα.png
Διπλή ισότητα.png (20.74 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές
Ας είναι Z η τομή της διχοτόμου BE με την παράλληλη στην BC από το A.

Επειδή : \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{Z_{}}} \Rightarrow \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{Z_{}}} \Leftrightarrow AB = AZ\,\,\left( 1 \right) .

\vartriangle ABP = \vartriangle AZE\,\,\,\left( {\Gamma  - \Pi  - \Gamma } \right) και άρα \boxed{AP = AE}\,\,\left( 2 \right).

Επειδή τα T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S βλέπουν υπό ορθές γωνίες την AB ανήκουν σε ημικύκλιο διαμέτρου AB.

Αφού \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} τα αντίστοιχα τόξα θα είναι ίσα , οπότε και οι χορδές TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS είναι ισες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9581
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 15, 2020 10:20 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 10, 2020 9:51 am
Διπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC ,(  \hat{A}=90^0 ) , το ύψος AS τέμνει την διχοτόμο BE στο σημείο P .

Φέρουμε AT \perp BE . Δείξτε ότι AP=AE και επίσης TA=TS . Μέχρι 15 Ιουλίου 2020 .
Διπλή ισότητα.png
Διπλή ισότητα.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές
Αν η AT τέμνει την BC στο N τότε το T είναι μέσο του AN κι επειδή \displaystyle A\widehat SN = 90^\circ  \Leftrightarrow \boxed{TS = \frac{{AN}}{2} = TA}

\displaystyle B\widehat EA = B\widehat PS ως συμπληρωματικές ίσων γωνιών, άρα \displaystyle A\widehat PE = A\widehat EP \Leftrightarrow \boxed{AP=AE}


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 152
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Πέμ Ιούλ 16, 2020 1:22 pm

'Εστω \displaystyle AT \cap BC \equiv N , BA \cap NP \equiv L , \angle PAT=x , και  \angle TAE=y

Το \displaystyle P είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου BAN αφού  BT \perp AN και AS \perp BN άρα

\displaystyle NL \perp BA \Rightarrow NL//AC \Rightarrow  \angle LNA = \angle TAE =y(εντός εναλλάξ).

Το τρίγωνο \displaystyle  BAN είναι ισοσκελές αφού η  BT είναι διχοτόμος και ύψος άρα  AT=TN. Αρα και το τρίγωνο PAN είναι ισοσκελές αφου η PT είναι ύψος και διάμεσος οπότε x = y.

Συνεπώς το τρίγωνο \displaystyle PAE είναι ισοσκελές αφου η AT είναι ύψος και διχοτόμος οπότε AP=AE.

Aπο τα παραπάνω εύκολα προκύπτει ότι ST=AT αφού είναι η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ASN που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα AN
Συνημμένα
Διπλή ισότητα.png
Διπλή ισότητα.png (83.17 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές


Καλό Καλοκαίρι!
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1083
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Διπλή ισότητα ( Α' ΛΥΚ ΓΕΩΜ )

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Ιούλ 17, 2020 10:29 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιούλ 10, 2020 9:51 am

Διπλή ισότητα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC ,(  \hat{A}=90^0 ) , το ύψος AS τέμνει την διχοτόμο BE στο σημείο P .

Φέρουμε AT \perp BE . Δείξτε ότι AP=AE και επίσης TA=TS . Μέχρι 15 Ιουλίου 2020 .
Διπλή ισότητα.png
Διπλή ισότητα.png (46.06 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
\angle P_1=P_2=90^0-B_2=90^0-B_1=E_1  \rightarrow \triangle PAE ισοσκελές  \rightarrow AE=AP

BSTA εγγράψιμο στον κύκλο διαμέτρου BA. (\hat T, \hat S βλέπουν υπό ορθή γωνία την BA).

Συνεπώς οι ίσες εγγεγραμμένες γωνίες B_1 , B_2 αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, δηλαδή AT=TS


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες