Πολλαπλάσιο του 13

#1

Να βρεθεί το μικρότερο πολλαπλάσιο του

το οποίο έχει ακριβώς

διαιρέτες.

(Παρακαλώ να μην σπεύσει κανείς να γράψει υπόδειξη όπως εδώ ή πλήρη απάντηση κατά παράβαση του κανονισμού όπως εδώ. Είμαστε δάσκαλοι και αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι το μαθηματικό κέρδος που θα αποκομίσει ο μαθητής με την ενασχόλησή του, χωρίς μασημένη τροφή.)

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

Έστω

ο ζητούμενος αριθμός. Τότε, θα είναι: $N=\prod_{i=1}^{n}p^{a_i}_i$ η κανονική μορφή του αριθμού. Γνωρίζουμε πως το πλήθος διαιρετών του

δίνεται από τον τύπο: $\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)$ , όπου: $a_i\geq 1$ . Από την υπόθεση, ισχύει: $\prod_{i=1}^{n}(a_i+1)=35=5 \cdot 7$ . Συνεπώς, ο

έχει δύο πρώτους διαιρέτες, με εκθέτες: $a_1+1=5\Leftrightarrow a_1=4, a_2+1=7 \Leftrightarrow a_2=6$ . Αφού ο

έχει δύο πρώτους διαιρέτες, από την υπόθεση, ένας εξ' αυτόν θα είναι το

και για λόγους ελαχιστοποίσης, ο άλλος θα είναι το

. Για να πετύχουμε το ελάχιστο δυνατό αποτέλεσμα, θα είναι: p_1=13, p_2=2

. Άρα: $N=2^6 \cdot 13^4=1.827.904$

(Η $35 \cdot 1$ μου δίνει $N'=13^{34}>N$ )

#3

Πολλαπλάσιο του 13

Πολλαπλάσιο του 13

Re: Πολλαπλάσιο του 13

Re: Πολλαπλάσιο του 13

Μέλη σε σύνδεση