Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

#1

Δείξτε ότι για όλα τα ζεύγη των πραγματικών αριθμών $\displaystyle{x , y}$ , με $\displaystyle{x+y \neq 0}$ , που επαληθεύουν την εξίσωση:

$\displaystyle{2^x = 6^y}$ ,

ο αριθμός:

$\displaystyle{3^{4-y} . 2^{\frac{x^2 -y^2 +4x +4y}{x+y}}}$

είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Henri van Aubel · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Παπαδόπουλος Κώστας · #3

Προκύπτει ότι:
$3^{4-y}\cdot 2^{x-y+4}= 6^{4-y}\cdot 2^{x}= \frac{6^{4}}{6^{y}}\cdot 2^{x}=6^{4}= 36^{2}$

Henri van Aubel · #4

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 16, 2023 8:11 pm
Προκύπτει ότι:
$3^{4-y}\cdot 2^{x-y+4}= 6^{4-y}\cdot 2^{x}= \frac{6^{4}}{6^{y}}\cdot 2^{x}=6^{4}= 36^{2}$

Ακριβώς αυτό

Βέβαια μετά την απλοποίηση του κλάσματος , πσραγοντοποιωντας τον αριθμητή.

Παπαδόπουλος Κώστας · #5

Εννοείται απλώς δεν το έγραψα για λόγους ευχέρειας και απλότητας

. Συγκεκριμένα είναι: $\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )+ 4\left ( x+y \right )}{x+y}= \frac{\left ( x+y \right )\left ( 4+x-y \right )}{x+y}= 4+x-y$

Henri van Aubel · #6

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 16, 2023 8:42 pm
Εννοείται απλώς δεν το έγραψα για λόγους ευχέρειας και απλότητας . Συγκεκριμένα είναι: $\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )+ 4\left ( x+y \right )}{x+y}= \frac{\left ( x+y \right )\left ( 4+x-y \right )}{x+y}= 4+x-y$

Πολύ σωστά !

Φαντάζομαι ξέρεις γιατί ο περιορισμός x+y

διάφορο του μηδενός είναι αναγκαίος .

#7

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 17, 2023 7:01 am

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 16, 2023 8:42 pm
Εννοείται απλώς δεν το έγραψα για λόγους ευχέρειας και απλότητας . Συγκεκριμένα είναι: $\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )+ 4\left ( x+y \right )}{x+y}= \frac{\left ( x+y \right )\left ( 4+x-y \right )}{x+y}= 4+x-y$
Πολύ σωστά ! Φαντάζομαι ξέρεις γιατί ο περιορισμός διάφορο του μηδενός είναι αναγκαίος .

Στη συγκεκριμένη άσκηση, αυτό που θέλουμε είναι οι x,y

να μην είναι και οι δύο μηδέν.

Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να γράψουμε, $|x|+|y|\ne 0.$

Henri van Aubel · #8

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 17, 2023 8:51 am

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 17, 2023 7:01 am

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 16, 2023 8:42 pm
Εννοείται απλώς δεν το έγραψα για λόγους ευχέρειας και απλότητας . Συγκεκριμένα είναι: $\frac{\left ( x-y \right )\left ( x+y \right )+ 4\left ( x+y \right )}{x+y}= \frac{\left ( x+y \right )\left ( 4+x-y \right )}{x+y}= 4+x-y$
Πολύ σωστά ! Φαντάζομαι ξέρεις γιατί ο περιορισμός διάφορο του μηδενός είναι αναγκαίος .
Στη συγκεκριμένη άσκηση, αυτό που θέλουμε είναι οι να μην είναι και οι δύο μηδέν.

Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να γράψουμε, $|x|+|y|\ne 0.$

Προφανώς

Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Re: Δυνάμεις με εκθέτη πραγματικό (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

Μέλη σε σύνδεση