Τριψήφιοι αριθμοί

[Fotis34]

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί , όπου είναι τα ψηφία του , που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
(α) Το γινόμενο των ψηφίων τους είναι ίσο με , δηλαδή .
(β) Το άθροισμα των ψηφίων τους, , είναι πρώτος αριθμός.
(γ) Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές του Δημοτικού).

[Fotis34]

Ανοικτή σε όλους.

[Mihalis_Lambrou]

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί , όπου είναι τα ψηφία του , που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
(α) Το γινόμενο των ψηφίων τους είναι ίσο με , δηλαδή .
(β) Το άθροισμα των ψηφίων τους, , είναι πρώτος αριθμός.
(γ) Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Οι μόνοι τρόποι να έχουν γινόμενο τρεις μονοψήφιοι είναι οι και . To δεύτερο απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί το (β). Άρα οι μονοψήφιοί μας μπορεί να είναι μόνο οι . Κατασκευάζουν τον και τον που ικανοποιoύν την (γ), άρα είναι οι ζητούμενοι.

Edit: Πρόσθεσα τον που τον είχα ξεχάσει, αλλά με διόρθωσε ο θεματοθέτης Φώτης, με Π.Μ. Τον ευχαριστώ.

[Mihalis_Lambrou]

Να βρεθούν όλοι οι τριψήφιοι φυσικοί αριθμοί , όπου είναι τα ψηφία του , που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες:
(α) Το γινόμενο των ψηφίων τους είναι ίσο με , δηλαδή .
(β) Το άθροισμα των ψηφίων τους, , είναι πρώτος αριθμός.
(γ) Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

.
Υπόψη ότι η άσκηση μπορεί να λύθει εξίσου απλά χωρίς χρήση της υπόθεσης (β).

Πράγματι, όπως στην προηγούμενη λύση, με βάση την υπόθεση (α), οι μόνες πιθανές επιλογές των μονοψήφιων είναι οι και .

Με την τριάδα είδαμε τις λύσεις και τον που ικανοποιoύν την (γ).

Μένει να εξετάσουμε την . Τώρα οι πιθανοί τριψήφιοι είναι οι . Αλλά κανείς από αυτούς δεν είναι τέλειο τετράγωνο, οπότε δεν έχουμε άλλες λύσεις πέραν των δύο που βρήκαμε.