Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Fotis34 · #1

Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) με τη βοήθεια του τύπου:
$\displaystyle{a\bigstar b =a²+a+b}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ είναι ακέραιοι αριθμοί.

Να βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων:
(α) $\displaystyle{3\bigstar4}$ και $\displaystyle{(1\bigstar5)\bigstar2}$ .
(β) $\displaystyle{(3\bigstar2)\bigstar(2\bigstar5)}$ .
(γ) Για ποιους αριθμούς $\displaystyle{a,b}$ ισχύει ότι $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$

(Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$ ώρες για τους μαθητές του δημοτικού).

#2

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 10:36 am
(γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$ .

.
Προσοχή, δεν ισχύει το παραπάνω στους ακεραίους στους οποίους, σύμφωνα με την εκφώνηση, ορίζεται η πράξη $\bigstar$

Οπότε προσθέτω

(δ) Δώστε παράδειγμα όπου δεν ισχύει το ζητούμενο.

(ε) Δείξτε ότι αν οι a,b

στο (γ) είναι φυσικοί αριθμοί, τότε ισχύει το ζητούμενο.

Πιστεύω ότι η άσκηση είναι ακατάλληλη για Δημοτικό, όχι γιατί είναι δύσκολη (το αντίθετο, είναι απλούστατη) αλλά γιατί η έννοια της απόδειξης είναι εκτός εμβέλειας.

#3

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 10:36 am
Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι)
...
(γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$ .
...
Η άσκηση είναι από διαγωνισμό δημοτικού. Έτσι όπως ήταν την ανέβασα, δηλαδή με το "ακέραιοι".

.
Φώτη, δεν μας τα λες καλά.

Η εκφώνηση που ανέβασες αρχικά δεν ήταν αυτή που είχε η πηγή σου, παρά την διαβεβαίωση για το αντίθετο.

Επειδή ακριβώς λες ότι άντλησες την άσκηση από Διαγωνισμό, έβαλα στο Google τις λέξεις "πλανήτη Μαθστάρ" και βρήκα τον διαγωνισμό. Είναι του Παραρτήματος Κ. Μακεδονίας το 2010. Βλέπε

εδώ

σελίς 21.

Η εκφώνησή τους είναι σωστή. Δεν λέει "να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$ ", όπως γράφεις αλλά ρωτάει "για ποιους αριθμούς ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$

Το πράγμα αλλάζει. Τα γράφω αυτά για να μην αδικήσουμε τον εν λόγω διαγωνισμό. Ακολουθεί εικόνα από το σχετικό χωρίο.

Fotis34 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 5:42 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 10:36 am
Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι)
...
(γ) Αν ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$ .
...
Η άσκηση είναι από διαγωνισμό δημοτικού. Έτσι όπως ήταν την ανέβασα, δηλαδή με το "ακέραιοι".
.
Φώτη, δεν μας τα λες καλά.

Η εκφώνηση που ανέβασες αρχικά δεν ήταν αυτή που είχε η πηγή σου, παρά την διαβεβαίωση για το αντίθετο.

Επειδή ακριβώς λες ότι άντλησες την άσκηση από Διαγωνισμό, έβαλα στο Google τις λέξεις "πλανήτη Μαθστάρ" και βρήκα τον διαγωνισμό. Είναι του Παραρτήματος Κ. Μακεδονίας το 2010. Βλέπε

εδώ

σελίς 21.

Η εκφώνησή τους είναι σωστή. Δεν λέει "να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{a=b}$ ", όπως γράφεις αλλά ρωτάει "για ποιους αριθμούς ισχύει $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$

Το πράγμα αλλάζει. Τα γράφω αυτά για να μην αδικήσουμε τον εν λόγω διαγωνισμό. Ακολουθεί εικόνα από το σχετικό χωρίο.

Συμφωνώ. Αλλά θεώρησα ότι το ίδιο πράγμα είναι. Όπως και να 'χει τώρα η άσκηση στο ποστ #1 είναι σωστή.

Fotis34 · #5

Ανοικτή σε όλους.

Fotis34 · #6

Fotis34 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2026 10:36 am
Στον πλανήτη Μαθστάρ οι μαθητές μαθαίνουν την πράξη $\displaystyle{\bigstar}$ (αστέρι) με τη βοήθεια του τύπου:
$\displaystyle{a\bigstar b =a²+a+b}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ είναι ακέραιοι αριθμοί.

Να βρείτε τα αποτελέσματα των πράξεων:
(α) $\displaystyle{3\bigstar4}$ και $\displaystyle{(1\bigstar5)\bigstar2}$ .
(β) $\displaystyle{(3\bigstar2)\bigstar(2\bigstar5)}$ .
(γ) Για ποιους αριθμούς $\displaystyle{a,b}$ ισχύει ότι $\displaystyle{a \bigstar b = b \bigstar a}$

(Ας την αφήσουμε $\displaystyle{24}$ ώρες για τους μαθητές του δημοτικού).

Για να κλείνει:

(α)

$\displaystyle 3 \bigstar 4 = 3^2 + 3 + 4 = 9 + 3 + 4 = 16$

$\displaystyle 1 \bigstar 5 = 1^2 + 1 + 5 = 7$

$\displaystyle (1 \bigstar 5) \bigstar 2 = 7^2 + 7 + 2 = 49 + 7 + 2 = 58$

Άρα: $\displaystyle{3 \bigstar 4 = 16,\quad (1 \bigstar 5) \bigstar 2 = 58}$ .

(β)

$\displaystyle 3 \bigstar 2 = 3^2 + 3 + 2 = 14$

$\displaystyle 2 \bigstar 5 = 2^2 + 2 + 5 = 11$

$\displaystyle (3 \bigstar 2) \bigstar (2 \bigstar 5) = 14^2 + 14 + 11 = 196 + 14 + 11 = 221$

Άρα: $\displaystyle{221}$ .

(γ)

$\displaystyle a \bigstar b = b \bigstar a$

$\displaystyle a^2 + a + b = b^2 + b + a$

$\displaystyle a^2 - b^2 = 0$

$\displaystyle (a-b)(a+b)=0$

Άρα: $\displaystyle{a=b , a=-b}$ .

Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Re: Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Re: Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Re: Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Re: Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Re: Ένα καινούριο μαθηματικό σύμβολο

Μέλη σε σύνδεση