Άθροισμα !

#1

Μου προέκυψε τυχαία .. το βρήκα συναρπαστικό.

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {L{i_3}\left( {{e^{ - 2 \cdot n \cdot \pi }}} \right)} = \frac{{7 \cdot {\pi ^3}}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot \zeta \left( 3 \right)}$

όπου $\displaystyle{L{i_3}\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^3}}}} }$ (Τριλογαριθμική συνάρτηση)

r9m · #2

Θυμόμαστε την επέκταση σειρά $\displaystyle \pi\coth (\pi z) = \frac{1}{z} + 2z\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{z^2+j^2}$ .

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \text{Li}_3\left(e^{-2n\pi}\right) &= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{e^{-2nk\pi}}{k^3}\\&= \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3\left(e^{2k\pi} - 1\right)}\\&= \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left(\coth (k\pi) - 1\right)\\&= \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^3}\left(\frac{1}{k}+2k\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{k^2+j^2}\right) - \frac{1}{2}\zeta(3)\\&= \frac{1}{2\pi}\left(\zeta(4) + 2\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{k^2(k^2+j^2)}\right) - \frac{1}{2}\zeta(3)\\&= \frac{1}{2\pi}\zeta(4) + \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^2(k^2+j^2)}+\frac{1}{j^2(k^2+j^2)}\right) - \frac{1}{2}\zeta(3)\\&= \frac{1}{2\pi}\zeta(4) + \frac{1}{2\pi}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{k^2j^2} - \frac{1}{2}\zeta(3) \\&= \frac{1}{2\pi}\zeta(4) + \frac{1}{2\pi}\zeta(2)^2 - \frac{1}{2}\zeta(3) = \frac{7\pi^3}{360} - \frac{1}{2}\zeta(3) \end{aligned}}$

#3

r9m έγραψε:Θυμόμαστε την επέκταση σειρά $\displaystyle \pi\coth (\pi z) = \frac{1}{z} + 2z\sum\limits_{j=1}^{\infty} \frac{1}{z^2+j^2}$ .

Άθροισμα !

Άθροισμα !

Re: Άθροισμα !

Re: Άθροισμα !

Μέλη σε σύνδεση