Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Βαγγέλης Κομπότης · #1

Μια απλή διασκεδαστική άσκηση Πραγματικής Ανάλυσης. Ζητώ συγνώμη αν έχει ήδη αναφερθεί.

Αν μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ έχει τοπικό μέγιστο σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε το σύνολο τιμών της είναι αριθμήσιμο.

#2

Καλησπέρα σε όλους.
Από την υπόθεση έχουμε ότι για κάθε x_0

υπάρχει διάστημα $I_{n\left( x_{0}\right) }=\left( x_{0}-\frac{1}{n\left( x_{0}\right) },x_{0}+\frac{1}{n\left( x_{0}\right) }\right)$ με $n\left( x_{0}\right)$ θετικό ακέραιο ώστε για κάθε $x\in I_{n\left( x_{0}\right) }$ να είναι $f\left( x\right) \leq f\left( x_{0}\right)$ . Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το $n\left( x_{0}\right)$ είναι ελάχιστο με αυτή την ιδιότητα οπότε για κάθε x_0

το $I_{n\left( x_{0}\right) }$ είναι μοναδικό. Παρατηρουμε ότι αν $x_{0}^{\prime }\in I_{n\left( x_{0}\right) }$ θα πρέπει να είναι $f\left( x_{0}^{\prime }\right) =f\left( x_{0}\right)$ διότι στην ενάντια περίπτωση στην τομή των $I_{n\left( x_{0}\right) },I_{n\left( x_{0}^{\prime }\right) }$ θα είχαμε $f\left( x_{0}\right) >f\left( x_{0}^{\prime }\right)$ και $f\left( x_{0}\right) <f\left( x_{0}^{\prime }\right)$ . Άρα τα $f\left( I_{n\left( x_{0}\right) }\right)$ είναι μονοσύνολα και το σύνολο τιμών της

είναι αριθμήσιμο.
Μαυρογιάννης

Edit 21.17
Ο συλλογισμός έχει ένα λάθος. Θα δω αν μπορώ να το διορθώσω, Ευχαριστώ τον Στράτο Παπαδόπουλο γιa ατην επισήμανση.

Βαγγέλης Κομπότης · #3

Νίκο, η γενική προσέγγιση είναι σωστή αλλά, όπως παρατήρησες κι εσύ, η κατάληξη δεν μπορεί να είναι σωστή γιατί ουσιαστικά έδειξες ότι η συνάρτηση είναι τοπικά σταθερή (και άρα σταθερή λόγω της συνεκτικότητας του πεδίου ορισμού). Αυτό όμως δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγμα η συνάρτηση "ακέραιο μέρος" είναι μια μη σταθερή συνάρτηση που πληρεί τις προυποθέσεις της άσκησης.

Βαγγέλης

#4

Για κάθε

στο πεδίο τιμών

παίρνω

με

και

ώστε αν

τότε $f(x_y) \geqslant f(x)$ .

Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ορίζω $A_n = \{y : r_y > 1/n\}$ . Είναι $\cup A_n = Y$ . Οπότε αν

υπεραριθμήσιμο τότε υπάρχει $N \in \mathbb{N}$ με A_N

επίσης υπεραριθμήσιμο. Οπότε και το $\displaystyle{ A_N' = \{x_y:y\in A_N\}}$ είναι επίσης υπεραριθμήσιμο.

Γράφω τώρα $\displaystyle{ \mathbb{R} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} B_k}$ όπου $\displaystyle{ B_k = \left[ \frac{k}{N},\frac{k+1}{N}\right).}$

Επειδή το A_N'

είναι υπεραριθμήσιμο τουλάχιστον ένα από τα $A_N' \cap B_k$ θα είναι υπεραριθμήσιμο, έστω το $A_N' \cap B_K$ . Παίρνω τώρα διακεκριμένα $x_y,x_{y'} \in A_N \cap B_K$ . Τότε είναι $|x_y - x_{y'}| < 1/n$ . Αφού όμως $r_y,r_{y'} > 1/N$ τότε είναι $f(x_y) \leqslant f(x_{y'})$ και $f(x_{y'}) \leqslant f(x_{y})$ .

Άρα $y = f(x_y) = f(x_{y'}) = y'$ , άτοπο.

Βαγγέλης Κομπότης · #5

Πολύ ωραία λύση Δημήτρη. Τώρα που λύθηκε η άσκηση, θα προσθέσω μια ακόμη λύση:

Για κάθε πραγματικό που ανήκει στο σύνολο τιμών, επιλέγουμε ανοικτό διάστημα με ρητά άκρα επί του οποίου η συνάρτηση μας έχει τον πραγματικό αριθμό αυτό σαν τη μέγιστη τιμή της. Η αντιστοίχιση αυτή είναι 1-1 και συνεπώς το σύνολο τιμών είναι αριθμήσιμο.

Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Re: Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Re: Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Re: Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Re: Συναρτήσεις με "πολλά" τοπικά μέγιστα

Μέλη σε σύνδεση