Υπεραριθμησιμότητα

#1

Καλημέρα σε όλη την παρέα. Θέτω υπόψη σας το παρακάτω πρόβλημα:
Αν

είναι ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του

, να αποδειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός

ώστε κάθε ένα από τα σύνολα $(-\infty, a)\cap A$ και $(a, +\infty)\cap A$ να είναι υπεραριθμήσιμο. Πόσοι είναι οι πραγματικοί

με την παραπάνω ιδιότητα;

Φιλικά

Καραδήμας · #2

Αν

είναι το σύνολο των $x\in {\mathbb R}$ για τα οποία το $(-\infty ,x)\cap A$ είναι αριθμήσιμο, τότε ή το

είναι κενό ή είναι ημιευθεία $(-\infty ,t]$ (δεν μπορεί να είναι ολόκληρη η ευθεία, θα ήταν αριθμήσιμο το

). To $\sup L$ είναι μέσα στο

: παίρνει κανείς μια γνήσια αύξουσα $x_n\to t$ και γράφει $(-\infty ,t)\cap A=\bigcup_{n=1}^{\infty }(-\infty ,x_n)\cap A$ .

Με τον ίδιο τρόπο, αν

είναι το σύνολο των $x\in {\mathbb R}$ για τα οποία το $(x,+\infty )\cap A$ είναι αριθμήσιμο, τότε ή το

είναι κενό ή είναι ημιευθεία $[s,+\infty )$ .

Η περίπτωση που έχει ενδιαφέρον είναι $L=(-\infty ,t]$ και $R=[s,+\infty )$ . Αναγκαστικά, t<s

, αλλιώς το

θα ήταν αριθμήσιμο. Τότε κάθε $a\in (t,s)$ έχει την ιδιοτητα. Και μάλιστα στo (t,s)

περιέχονται όλα τα σημεία του

εκτός από αριθμήσιμα.