ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Mαριάννα · #1

Καλησπέρα σας !
Θέλω να βρω τις μεμονωμένες ανωμαλίες της συνάρτησης $f(z)=e^{1/z}+ \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ . Στη συνέχεια να βρω αν είναι πόλοι ή ουσιώδεις ανωμαλίες.

Παρατηρώ ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο σύνολο $\mathbb{C}\setminus \left \{ 0,1 \right \}$ , δηλαδή το 0 και το 1 είναι οι μεμονωμένες ανωμαλίες της f .
Πώς μπορώ να δείξω ότι το 0 είναι ουσιώδης ανωμαλία της f και το 1 είναι πόλος τάξης 2 της f ,αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσω τα όρια της f(z) καθώς το z πλησιάζει το σημείο στο οποίο υπάρχει η μεμονωμένη ανωμαλία.
Σκέφτηκα να ξεκινήσω με την πρώτη ανωμαλία : $z_{0}=0$ και να βρω το είδος της ανωμαλίας αυτής από τη σειρά Laurent της $f_{1}(z)$ = $e^{1/z}$ στον κατάλληλο δακτύλιο αφήνοντας την $f_{2}(z)=\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ ως έχει, δηλαδή στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{2}(z)$ είναι αναλυτική στο 0 . Στη συνέχεια να ασχοληθώ με την δεύτερη ανωμαλία $z_{0}=1$ βρίσκοντας το είδος της ανωμαλίας από τη σειρά Laurent της $f_{2}$ στον κατάλληλο δακτύλιο και αφήνοντας την $f_{1}$ στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{1}$ είναι αναλυτική στο 1 !
Νομίζω όμως ότι η σκέψη μου δεν είναι σωστή .
Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!
Σας ευχαριστώ πολύ!

#2

Mαριάννα έγραψε:...Πώς μπορώ να δείξω ότι το 0 είναι ουσιώδης ανωμαλία της f και το 1 είναι πόλος τάξης 2 της f ,αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσω τα όρια της f(z) καθώς το z πλησιάζει το σημείο στο οποίο υπάρχει η μεμονωμένη ανωμαλία....

Γιατί να μην χρησιμοποιήσεις το όριο της f(z)

για $z\to0$ ; Προσπάθησε να το βρεις...

Υ.Γ. Για το σημείο z=1

η σκέψη είναι σωστή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Θέλω να βρω τις μεμονωμένες ανωμαλίες της συνάρτησης $f(z)=e^{1/z}+ \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ . Στη συνέχεια να βρω αν είναι πόλοι ή ουσιώδεις ανωμαλίες.

Παρατηρώ ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο σύνολο $\mathbb{C}\setminus \left \{ 0,1 \right \}$ , δηλαδή το 0 και το 1 είναι οι μεμονωμένες ανωμαλίες της f .
Πώς μπορώ να δείξω ότι το 0 είναι ουσιώδης ανωμαλία της f και το 1 είναι πόλος τάξης 2 της f ,αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσω τα όρια της f(z) καθώς το z πλησιάζει το σημείο στο οποίο υπάρχει η μεμονωμένη ανωμαλία.
Σκέφτηκα να ξεκινήσω με την πρώτη ανωμαλία : $z_{0}=0$ και να βρω το είδος της ανωμαλίας αυτής από τη σειρά Laurent της $f_{1}(z)$ = $e^{1/z}$ στον κατάλληλο δακτύλιο αφήνοντας την $f_{2}(z)=\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ ως έχει, δηλαδή στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{2}(z)$ είναι αναλυτική στο 0 . Στη συνέχεια να ασχοληθώ με την δεύτερη ανωμαλία $z_{0}=1$ βρίσκοντας το είδος της ανωμαλίας από τη σειρά Laurent της $f_{2}$ στον κατάλληλο δακτύλιο και αφήνοντας την $f_{1}$ στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{1}$ είναι αναλυτική στο 1 !
Νομίζω όμως ότι η σκέψη μου δεν είναι σωστή .
Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!
Σας ευχαριστώ πολύ!

Η σκέψη σου είναι σωστότατη.
Οι ουσιώδεις ανωμαλίες και οι πόλοι καθορίζονται από τις αρνητικές δυνάμεις της σειράς Laurent.
Ετσι αν προσθέσουμε μια αναλυτική στο σημείο δεν αλλάζει κάτι.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Θέλω να βρω τις μεμονωμένες ανωμαλίες της συνάρτησης $f(z)=e^{1/z}+ \frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ . Στη συνέχεια να βρω αν είναι πόλοι ή ουσιώδεις ανωμαλίες.

Παρατηρώ ότι η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο σύνολο $\mathbb{C}\setminus \left \{ 0,1 \right \}$ , δηλαδή το 0 και το 1 είναι οι μεμονωμένες ανωμαλίες της f .
Πώς μπορώ να δείξω ότι το 0 είναι ουσιώδης ανωμαλία της f και το 1 είναι πόλος τάξης 2 της f ,αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσω τα όρια της f(z) καθώς το z πλησιάζει το σημείο στο οποίο υπάρχει η μεμονωμένη ανωμαλία.
Σκέφτηκα να ξεκινήσω με την πρώτη ανωμαλία : $z_{0}=0$ και να βρω το είδος της ανωμαλίας αυτής από τη σειρά Laurent της $f_{1}(z)$ = $e^{1/z}$ στον κατάλληλο δακτύλιο αφήνοντας την $f_{2}(z)=\frac{e^{z}}{(z-1)^{2}}$ ως έχει, δηλαδή στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{2}(z)$ είναι αναλυτική στο 0 . Στη συνέχεια να ασχοληθώ με την δεύτερη ανωμαλία $z_{0}=1$ βρίσκοντας το είδος της ανωμαλίας από τη σειρά Laurent της $f_{2}$ στον κατάλληλο δακτύλιο και αφήνοντας την $f_{1}$ στη μορφή που είναι λόγω ότι η $f_{1}$ είναι αναλυτική στο 1 !
Νομίζω όμως ότι η σκέψη μου δεν είναι σωστή .
Οποιαδήποτε βοήθεια είναι ευπρόσδεκτη!
Σας ευχαριστώ πολύ!
Η σκέψη σου είναι σωστότατη.
Οι ουσιώδεις ανωμαλίες και οι πόλοι καθορίζονται από τις αρνητικές δυνάμεις της σειράς Laurent...

Να διευκρινίσω, προς αποφυγή παρεξηγήσεων, ότι στην προηγούμενη δημοσίευσή μου δεν λέω ότι η απόδειξη ότι το z=0

είναι ουσιωδώς ανώμαλο μέσω της σειράς Laurent είναι λάθος. Απλώς η εξέταση του ορίου είναι, συνήθως, συντομότερη οδός.

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση