Η αρμονία της Fibonacci

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με ${\rm F}_n$ τον

- οστό όρο Fibonacci και με $\mathcal{H}_n^{(2)}$ το γενικευμένο αρμονικό όρο τάξης

. Υπολογισθήτω:
$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\rm F}_n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 11:06 pm
Ας δηλώσουμε με ${\rm F}_n$ τον - οστό όρο Fibonacci και με $\mathcal{H}_n^{(2)}$ το γενικευμένο αρμονικό όρο τάξης . Υπολογισθήτω: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\rm F}_n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}}$

Από εδώ http://mathworld.wolfram.com/InverseSine.html γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}H_{n - 1}^{\left( 2 \right)}} = \frac{2}{3}{\arcsin ^4}\frac{{\sqrt x }}{2}$

Παρεμπιπτόντως, οι σειρές Taylor της $\displaystyle f\left( x \right) = {\arcsin ^n}x$ , για $\displaystyle n = 1,2,3,4$ βρέθηκαν απ’ τον Ramanujan στις αρχές του 20ου αιώνα

και η γενικότερη έκφραση από τους Bailey et al., Borwein και Chamberland (2006 - 2007) σε μια συναρπαστική εργασία

π.χ. $\displaystyle {\arcsin ^6}\left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{{45}}{4}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^{2n}}}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{1}{{{k^2}}}\sum\limits_{m = 1}^{k - 1} {\frac{1}{{{m^2}}}} } }$

Επειδή $\displaystyle {F_n} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right)$ έχουμε

$\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{F_n}}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}H_{n - 1}^{\left( 2 \right)}} = \frac{2}{{3\sqrt 5 }}\left( {{{\arcsin }^4}\frac{{\sqrt {1 + \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 2 }} - {{\arcsin }^4}\frac{{i \cdot \sqrt {\sqrt 5 - 1} }}{{2\sqrt 2 }}} \right)$

και με δεδομένο ότι $\displaystyle arc\sin \left( {iz} \right) = - i\log \left( {\sqrt {1 + {z^2}} - z} \right)$ (στοιχειώδες) προκύπτει

$\displaystyle S = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{F_n}}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}H_{n - 1}^{\left( 2 \right)}} = \frac{2}{{3\sqrt 5 }}\left( {{{\arcsin }^4}\left( {\frac{{\sqrt {1 + \sqrt 5 } }}{{2\sqrt 2 }}} \right) - {{\log }^4}\left( {\frac{{\sqrt {7 + \sqrt 5 } - \sqrt {\sqrt 5 - 1} }}{{2\sqrt 2 }}} \right)} \right)$

Το αποτέλεσμα σίγουρα επιδέχεται οπτική βελτίωση .. αργότερα ...

Tolaso J Kos · #3

Σεραφείμ έγραψε: Το αποτέλεσμα σίγουρα επιδέχεται οπτική βελτίωση .. αργότερα ...

Κάπως έτσι θαρρώ.
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n \mathcal{H}_{n-1}^{(2)}}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{2\arcsin^4\left(\dfrac {\sqrt{\varphi}}2\right)-2\arcsin^4\left(\dfrac {\sqrt{1-\varphi}}2\right)}{3\sqrt 5} }$

#4

Στο ίδιο αποτέλεσμα είχα φτάσει, αλλά επειδή $\displaystyle {1 - \varphi < 0}$ , θα πρέπει να γραφεί (στα πλαίσια της Πραγματικής Ανάλυσης), ως

$\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{F_n}}}{{{n^2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2n}\\ n \end{array}} \right)}}H_{n - 1}^{\left( 2 \right)}} = \frac{2}{{3\sqrt 5 }}\left( {{{\arcsin }^4}\left( {\frac{{\sqrt \varphi }}{2}} \right) - {{\arcsin }^4}\left( {i \cdot \frac{{\sqrt {\varphi - 1} }}{2}} \right)} \right)$ ,

το οποίο βέβαια γυρνάει στον λογάριθμο που έγραψα.

Tolaso J Kos · #5

Σεραφείμ,

πλέον γνωρίζεις πως ότι κάθεται καλά αισθητικά το αφήνουμε ακόμα και αν $1-\varphi<0$ .

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 21, 2017 9:06 am
Σεραφείμ,

πλέον γνωρίζεις πως ότι κάθεται καλά αισθητικά το αφήνουμε ακόμα και αν $1-\varphi<0$ .

Η αρμονία της Fibonacci

Η αρμονία της Fibonacci

Re: Η αρμονία της Fibonacci

Re: Η αρμονία της Fibonacci

Re: Η αρμονία της Fibonacci

Re: Η αρμονία της Fibonacci

Re: Η αρμονία της Fibonacci

Μέλη σε σύνδεση