Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου

#1

Να αποδειχθεί ότι αν το σύνολο

του $\mathbb{R}^n$ έχει μηδενικό μέτρο και είναι Jordan-μετρήσιμο, τότε $\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\overline{x}}=0$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 15, 2017 10:42 am
Να αποδειχθεί ότι αν το σύνολο του $\mathbb{R}^n$ έχει μηδενικό μέτρο και είναι Jordan-μετρήσιμο, τότε $\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\overline{x}}=0$ .

$\displaystyle A \subseteq {R^n}$ και $\displaystyle A:\;$ Jordan μετρήσιμο $\displaystyle \Rightarrow$ το ολοκλήρωμα $\displaystyle \int\limits_A {1 \cdot d\vec x}$ είναι καλά ορισμένο. Επίσης $\displaystyle \mu \left( A \right) = 0 \Rightarrow$ υπάρχει ακολουθία

$\displaystyle {U_n}$ κλειστών ορθογωνίων του $\displaystyle {R^n}$ ώστε $\displaystyle A \subseteq \bigcup\limits_n {{U_n}}$ και $\displaystyle \forall \varepsilon > 0:\sum\limits_n {v\left( {{U_n}} \right)} < \varepsilon$ , όπου $\displaystyle v\left( {{U_n}} \right):$ ο όγκος του ορθογωνίου $\displaystyle {U_n}$ .

Τότε $\displaystyle \forall \varepsilon > 0:0 \le \int\limits_A {1 \cdot d\vec x} \le \int\limits_{\bigcup\limits_n {{U_n}} } {1 \cdot d\vec x} \le \sum\limits_n {\int\limits_{{U_n}} {1 \cdot d\vec x} } = \sum\limits_n {v\left( {{U_n}} \right)} < \varepsilon \Rightarrow \int\limits_A {1 \cdot d\vec x} = 0$

#3

Μια δεύτερη λύση:

Έστω ότι $\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\,\overline{x}}=\ell>0$ . Επειδή το

είναι Jordan-μετρήσιμο για κάθε ορθογώνιο $B\subseteq{\mathbb{R}}^n$ με $A\subseteq B$ , ισχύει $\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\,\overline{x}}=\int\limits_{B}{\chi_{A}\,d\,\overline{x}}=\ell>0\quad(1)\,.$ Όμως το

είναι και μηδενικού μέτρου. Επομένως για $\varepsilon=\frac{\ell}{2}$ υπάρχει συλλογή $\{U_m\}_{m=1}^{\infty}$ (*) κλειστών ορθογωνίων τέτοια ώστε $A\subseteq\mathop{\bigcup}\limits_{m=1}^{\infty}U_m$ και $\displaystyle \mathop{\sum}\limits_{m=1}^{\infty}v(U_m)<\frac{\ell}{2}\quad(2)\,.$
Επεκτείνοντας την συλλογή $\{U_m\}_{m=1}^{\infty}$ με μια συλλογή ορθογωνίων $\{U'_m\}_{m=1}^{\infty}$ , έτσι ώστε $B=\{U_m\}_{m=1}^{\infty}\cup\{U'_m\}_{m=1}^{\infty}$ , παρατηρούμε ότι για $x\in{U}'_m$ ισχύει $\chi_{A}(x)=0$ .
Αλλά τότε από την (1)

προκύπτει $\begin{aligned} \ell&=\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\,\overline{x}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\int\limits_{B}{\chi_{A}\,d\,\overline{x}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{m\to+\infty}\bigg(\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{m}\cancelto{1}{\sup\chi_{A}\big.}\, v(U_i)+\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{m}\cancelto{0}{\sup\chi_{A}\big.}\, v(U'_i)\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\lim}\limits_{m\to+\infty}\mathop{\sum}\limits_{i=1}^{m} v(U_i)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{m=1}^{\infty}v(U_m)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(2)}{<}\frac{\ell}{2}\hspace{5.0cm} \Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 1&<\frac{1}{2}\,. \end{aligned}$ Άτοπο. Άρα $\displaystyle\int\limits_{A}{1\,d\overline{x}}=0$ .

(*) Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι σε κάθε U_m

υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του

. Επομένως για $x\in{U}_m$ ισχύει $\chi_{A}(x)=1$ .

Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου

Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου

Re: Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου

Re: Πολλαπλό ολοκλήρωμα σε σύνολο μηδενικού μέτρου

Μέλη σε σύνδεση