εύρεση συνάρτησης

Chatzibill · #1

Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$

#2

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:06 pm
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{1+t^2}dx , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$

Δεν έχω δυσκολία να την λύσω αλλά για την ώρα γράφω για να επισημάνω ότι η εκφώνηση είναι προβληματική. Μπλέκει την μεταβλητή ολοκλήρωσης με την ανεξάρτητη μεταβλητή. Άσε που υπάρχει αμφισημία αλλά δεν δυσκολεύομαι να μαντέψω ποιο είναι το σωστό. Σίγουρα είναι ένα από τα

$\displaystyle{f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt}$ ή

$\displaystyle{f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{1+t^2}dt }$

(δεν αμφιβάλλω, μαντεύω, ότι εννοείται το πρώτο).

Chatzibill · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:32 pm

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:06 pm
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{1+t^2}dx , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$
Δεν έχω δυσκολία να την λύσω αλλά για την ώρα γράφω για να επισημάνω ότι η εκφώνηση είναι προβληματική. Μπλέκει την μεταβλητή ολοκλήρωσης με την ανεξάρτητη μεταβλητή. Άσε που υπάρχει αμφισημία αλλά δεν δυσκολεύομαι να μαντέψω ποιο είναι το σωστό. Σίγουρα είναι ένα από τα

$\displaystyle{f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt}$ ή

$\displaystyle{f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(x)}{1+t^2}dt }$

(δεν αμφιβάλλω, μαντεύω, ότι εννοείται το πρώτο).

Έχετε απόλυτο δίκιο, το διόρθωσα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:06 pm
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2}dt , f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\propto )$

Υπάρχει και άλλο πρόβλημα.

Είναι f(0)=0

Tolaso J Kos · #5

Η άσκηση αυτή μου θύμισε τη παρακάτω η οποία ήταν trend μέχρι το .

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε:

$\displaystyle{f(x) = \left ( 1+x^2 \right )\left ( 1+ \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} \, \mathrm{d}t - \ln f(0 ) \right ) \; , \; x \in \mathbb{R}}$
Ποιος είναι ο τύπος της

;

Chatzibill έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 21, 2019 10:06 pm
Να βρεθεί συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε $\displaystyle f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2} \; \mathrm{d} t$ .

Στο παραπάνω έχουμε μία παραλλαγή της άσκησης που θυμήθηκα. Επειδή

συνεχής το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμο άρα και η

παραγωγίσιμη.

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) &=2x \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{t^2+1} \, \mathrm{d}t + \left ( x^2+1 \right ) \cdot \frac{f(x)}{x^2+1}\\ &=2x\int_{0}^{x} \frac{f(t)}{t^2+1} \, \mathrm{d}t + f(x)\\ &=\frac{2x f(x)}{x^2+1} + f(x)\\ &=\cdots \\ &\Rightarrow f(x) =c \left ( 1+x^2 \right )e^x \end{aligned}}$
και επειδή f(0)=0

έπεται ότι $f(x)=0 \; , \; x \in \mathbb{R}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τίποτα για την συνάρτηση.

Θέλουμε να βρούμε συνάρτηση που ικανοποιεί την

$\displaystyle f(x)=(1+x^2)\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{1+t^2} \; \mathrm{d} t$ .

Θέτοντας $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1+x^2}$

γίνεται

$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x}g(t) \; \mathrm{d} t$ .

Προφανώς η

πρέπει να είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα της μορφής

[0,x] or [x,0]

προκύπτει λόγω συνέχειας του ολοκληρώματος ότι η

είναι συνεχής.

Πάλι λόγω της παραγωγισιμότητας του ολοκληρώματος συνεχούς
προκύπτει ότι είναι παραγωγίσημη.

Παραγωγίζοντας παίρνουμε g'(x)=g(x)

.

Από εφαρμογή του σχολικού προκύπτει ότι

$\displaystyle g(x)=ce^{x}$

Αλλά g(0)=0

οπότε

$g(x)=0,x\in \mathbb{R}$

Αρα και $f(x)=0,x\in \mathbb{R}$

εύρεση συνάρτησης

εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Re: εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση