Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Soniram89 · #1

Ταλαιπωρούμαι εδώ και πολύ καιρό με το συγκεκριμένο μάθημα, ανεβάζω κάποιες ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα κάποια υπόδειξη-βοήθεια!!!
Ευχαριστώ πολύ όποιον μπορέσει να ασχοληθεί.

1 )Έστω $\large \sum_{n=0}^{\infty }a_nz^n$ δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης $\large R$ . Αποδείξτε ότι για $\large R'<R$ υπάρχει γεωμετρική σειρά με λόγο $\large q\epsilon \left ( 0,1 \right ):$ $\large \sum_{n=0}^{\infty}\left | a_nz^n \right |\leq M\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ στον κλειστό δίσκο $\large \overline{D}\left ( 0,R' \right )$ για κάποιο $\large M>0$ .

2) Στον κύκλο $\large C(0,r)$ δείξτε ότι: $\large f(0)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }f(re^{i\theta})d\theta$

3) Έστω $\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ . Αν $\large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n$ είναι το ανάπτυγμα της

σε δυναμοσειρά με κέντρο 1/2

. Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι μικρότερη από 3/2

.

4) Δείξτε ότι στο δακτύλιο $\large r_1<\left | z \right |<r_2$ το ανάπτυγμα Laurent της $\large \frac{1}{z-b}, \left | b \right |>r_2$ έχει μόνο θετικές δυνάμεις του

.

5) Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της $\large \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n,a_n:\left\{\begin{matrix} k^k, &n=k^2 \\ 0, & n\neq k^2 \end{matrix}\right.$

6) Έστω $\large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1$ , Δείξτε ότι $\large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta .$ (Μου φαίνεται λίγο ελλειπής η εκφώνηση εδώ!!!)

Soniram89 · #2

4)

Ισχύει ότι: $\large \left | b \right |>\left | z \right |\Leftrightarrow 1>\dfrac{\left | z \right |}{\left | b \right |}\Leftrightarrow \left | \dfrac{b}{z} \right |<1$

Άρα:

$\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=-\dfrac{1}{\sum_{n=0}^{\infty}(\dfrac{z}{b})^n}=-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...$

Soniram89 · #3

2) Με πολύ μεγάλη επιφύλαξη:

Από τον ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy: $\large f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$

Κάνουμε την εξής παραμέτρηση: $\large \zeta =z+re^{i\theta}\Leftrightarrow d\zeta =re^{i\theta}id\theta$

Επίσης: $\large \zeta -z=re^{i\theta }$

Άρα: $\large f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{0}^{2\pi }\dfrac{z+re^{i\theta }}{re^{i\theta }}ire^{i\theta }d\theta =\dfrac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi}f(z+re^{i\theta })d\theta$

Το ζητούμενο έπεται για εφαρμογή του παραπάνω τύπου στον κύκλο $\large C(o,r)$ .?

Soniram89 · #4

5) Η δυναμοσειρά γράφεται: $\large f(z)=z+2^2z^2+3^3z^3+4^4z^4+...$

Από κριτήριο ρίζας : $\large \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\left | a_n \right |}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty }n=\infty$

Όμως $\large R=\dfrac{1}{\lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}$

Άρα $\large R=\dfrac{1}{\infty}=0$

Χρειάζεται απόδειξη για ποιό λόγο επιλέξαμε το μεγαλύτερο υπακολουθιακό όριο??

#5

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 9:30 pm
5) Η δυναμοσειρά γράφεται: $\large f(z)=z+2^2z^2+3^3z^3+4^4z^4+...$
...

Για δες το ξανά αυτό.

Υπόδειξη: Οι μη μηδενικοί συντελεστές είναι οι a_n

όπου

κάποιος από τους 0^2, 1^2, 2^2, 3^2,...

δηλαδή τους $0,\, 1, \, 4, \, 9, ...$ . Αυτό που έγραψες είναι τα $0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4,...$ (δηλαδή όλα).

#6

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm
4)

$\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=...$

Για δες το ξανά αυτό. Έχει τρία λάθη μέσα του

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm

$-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...$

Αυτό είναι πάρα, μα ΠΑΡΑ, πολύ λάθος.

Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι $\displaystyle{- \dfrac {1}{1+ \dfrac {1}{A}}= -1-A}$ .

Εάν δεν βλέπεις γιατί είναι λάθος, βάλε A=1

και σύγκρινε τα δύο μέλη.

Soniram89 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 11:00 pm

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm
4)

$\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=...$
Για δες το ξανά αυτό. Έχει τρία λάθη μέσα του

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:52 pm

$-\dfrac{1}{1+\dfrac{z^2}{b^2}+\dfrac{z^3}{b^3}+...}=-1-\dfrac{b^2}{z^2}-\dfrac{b^3}{z^3}-...$
Αυτό είναι πάρα, μα ΠΑΡΑ, πολύ λάθος.

Είναι σαν να ισχυρίζεσαι ότι $\displaystyle{- \dfrac {1}{1+ \dfrac {1}{A}}= -1-A}$ .

Εάν δεν βλέπεις γιατί είναι λάθος, βάλε και σύγκρινε τα δύο μέλη.

Έχετε δίκιο, επικεντρώθηκα περισσότερο στην πληκτρολόγηση παρά στο να κάνω σωστά πράξεις!!! Τα διορθώνω αμέσως!!!

#8

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 11:10 pm
Έχετε δίκιο, επικεντρώθηκα περισσότερο στην πληκτρολόγηση παρά στο να κάνω σωστά πράξεις!!! Τα διορθώνω αμέσως!!!

Ωραία. Περιμένουμε το σωστό.

Υπόψη ότι υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση σου, πέρα από αυτά που σημείωσα. Και το κυριότερο, δεν φαίνεται να κατάλαβες τι σου ζητά η άσκηση. Συγκεκριμένα, σου ζητά να αποδείξεις ότι το ανάπτυγμα έχει μόνο θετικές δυνάμεις του

αλλά εσύ έδειξες ότι έχει μόνο αρνητικές.

Soniram89 · #9

Διόρθωση της 4)

$\large \left | b \right |>\left | z \right |\Leftrightarrow 1>\dfrac{\left | z \right |}{\left | b \right |}\Leftrightarrow \left | \dfrac{z}{b} \right |<1$

$\large \dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{b(\dfrac{z}{b}-1)}=-\dfrac{1}{b}\dfrac{1}{1-\dfrac{z}{b}}=-\dfrac{1}{b}\sum_{n=0}^{\infty}(\dfrac{z}{b})^n=-\dfrac{1}{b}(1+\dfrac{z}{b}+\dfrac{z^2}{b^2}+...)=-\dfrac{1}{b}-\dfrac{z}{b^2}-\dfrac{z^2}{b^3}-...$

Soniram89 · #10

Διόρθωση για την 5)

$\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....$

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!

#11

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 12:01 am
Διόρθωση για την 5)

$\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....$

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!

Όχι βέβαια! Πρώτα απ' όλα πρέπει τώρα να εξετάσεις το $\displaystyle{\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}}$ . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι το ίδιο με το
$\displaystyle{\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}$ .

Το κυριότερο σφάλμα στον συλλογισμό σου είναι ότι δεν έχεις κατανοήσει τι είναι το $\displaystyle{ \limsup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}$ . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι $\lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}$ .

Θα πρότεινα να τα ξεκαθαρίσεις. Δεν έχει νόημα να σου γράψουμε λεπτομέρειες για την λύση αν δεν έχεις τις γνώσεις να τις κατανοήσεις σε όλο τους το φάσμα.

Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε αλλά πρέπει πρώτα και εσύ να κάνεις τα σωστά βήματα.

Soniram89 · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 8:15 am

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 12:01 am
Διόρθωση για την 5)

$\large f(z)=1^2z+2^2z^4+3^3z^9+....$

Κατά τα άλλα δεν αλλάζει η λύση, όμως η απορία μου παραμένει η ίδια όσον αφορά τα υπακολουθιακά όρια!!
Όχι βέβαια! Πρώτα απ' όλα πρέπει τώρα να εξετάσεις το $\displaystyle{\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}}$ . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι το ίδιο με το
$\displaystyle{\sqrt[n]{\left | a_n \right |}}$ .

Το κυριότερο σφάλμα στον συλλογισμό σου είναι ότι δεν έχεις κατανοήσει τι είναι το $\displaystyle{ \limsup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}$ . Φαίνεται να νομίζεις ότι είναι $\lim_{n \to \infty }sup\sqrt[n]{\left | a_n \right |}$ .

Θα πρότεινα να τα ξεκαθαρίσεις. Δεν έχει νόημα να σου γράψουμε λεπτομέρειες για την λύση αν δεν έχεις τις γνώσεις να τις κατανοήσεις σε όλο τους το φάσμα.

Εδώ είμαστε για να σε βοηθήσουμε αλλά πρέπει πρώτα και εσύ να κάνεις τα σωστά βήματα.

Είχα δηλώσει εξ αρχής ότι δεν είμαι καθόλου σίγουρος για τις λύσεις που θα παραθέσω...Κατάλαβα που βρίσκεται το λάθος μου στη συγκεκριμένη άσκηση. Παρόλα αυτά ποιος είναι ο τρόπος υπολογισμού του $\large limsup\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}$ ?

Έψαξα διάφορες ασκήσεις και είδα ότι παρόμοιες δυναμοσειρές έχουν ακτίνα σύγκλισης $\large R=1$ , αν έχετε να δώσετε κάποια λύση θα βοηθούσε πολύ!!

ΥΣ: Αν γνώριζα τις λύσεις, φαντάζομαι πως καταλαβαίνετε ότι θα ήταν περιττό να ανεβάσω το συγκεκριμένο θέμα.

#13

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 2:29 pm
ΥΣ: Αν γνώριζα τις λύσεις, φαντάζομαι πως καταλαβαίνετε ότι θα ήταν περιττό να ανεβάσω το συγκεκριμένο θέμα.

Εννοείται. 'Ομως το σχόλιό μου δεν αναφέρεται σε αυτό! Εκείνο που επεσήμανα είναι ότι πρέπει να έχεις τις γνώσεις για να καταλάβεις την λύση που θα σου γράψουμε.

Για παράδειγμα, δεν φαίνεται να έχεις κατανοήσει τι είναι το $\limsup$ . Προς τι λοιπόν να σου πούμε από τώρα πώς θα βρεις το

Soniram89 έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 24, 2019 2:29 pm
Παρόλα αυτά ποιος είναι ο τρόπος υπολογισμού του $\large limsup\sqrt[n^2]{\left | a_n \right |}$ ?

Δες τι είναι το $\limsup$ και εύκολα τότε θα λύσεις μόνος σου την άσκηση. Αλλιώς, πες μας μέχρι που έφτασες, για να σου δώσουμε λύση ή υπόδειξη για τα υπόλοιπα.

Παρακαλώ, επίσης, να μην κάνουμε μικροδιάλογο. Ας μένουμε σε πιο ολοκληρωμένες λύσεις ή πιο ολοκληρωμένες προσπάθειες λύσης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

Soniram89 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 23, 2019 8:26 pm
Ταλαιπωρούμαι εδώ και πολύ καιρό με το συγκεκριμένο μάθημα, ανεβάζω κάποιες ασκήσεις στις οποίες θα ήθελα κάποια υπόδειξη-βοήθεια!!!
Ευχαριστώ πολύ όποιον μπορέσει να ασχοληθεί.

1 )Έστω $\large \sum_{n=0}^{\infty }a_nz^n$ δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης $\large R$ . Αποδείξτε ότι για $\large R'<R$ υπάρχει γεωμετρική σειρά με λόγο $\large q\epsilon \left ( 0,1 \right ):$ $\large \sum_{n=0}^{\infty}\left | a_nz^n \right |\leq M\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ στον κλειστό δίσκο $\large \overline{D}\left ( 0,R' \right )$ για κάποιο $\large M>0$ .

2) Στον κύκλο $\large C(0,r)$ δείξτε ότι: $\large f(0)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }f(re^{i\theta})d\theta$

3) Έστω $\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ . Αν $\large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n$ είναι το ανάπτυγμα της σε δυναμοσειρά με κέντρο . Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι μικρότερη από .

4) Δείξτε ότι στο δακτύλιο $\large r_1<\left | z \right |<r_2$ το ανάπτυγμα Laurent της $\large \frac{1}{z-b}, \left | b \right |>r_2$ έχει μόνο θετικές δυνάμεις του .

5) Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης της $\large \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n,a_n:\left\{\begin{matrix} k^k, &n=k^2 \\ 0, & n\neq k^2 \end{matrix}\right.$

6) Έστω $\large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1$ , Δείξτε ότι $\large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta .$ (Μου φαίνεται λίγο ελλειπής η εκφώνηση εδώ!!!)

Κάποιες παρατηρήσεις στις εκφωνήσεις.

Το 3) θα έπρεπε να γραφεί

Έστω $\large f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}$ . Αν $\large \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-\frac{1}{2})^n$ είναι το ανάπτυγμα της

σε δυναμοσειρά με κέντρο 1/2

. Δείξτε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι 1/2

.

ενώ το 6)

Έστω πολυώνυμο με
$\large P(z)=P(\overline{z}): \left | z \right |=1$ , Δείξτε ότι $\large P\equiv \sigma \tau \alpha \theta .$

Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Re: Ασκήσεις Μιγαδικής Ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση