Συνοψίζοντας συναρτήσεις δυνάμεων: Πάντα ρητά για τιμές;

Δημοσθένης1043 · #1

Για πρώτους μεταξύ τους θετικούς ακέραιους p, q, ορίζουμε F(p/q) = pq

. Όταν

, να υπολογίσετε:

$\displaystyle{\sum_{x \in \mathbb{Q} \backslash {0}} F(x)^{-s}}$
και να αποδείξετε ότι είναι πάντα ρητός για άρτιες τιμές του s. (Υπόδειξη: Θα υπολογιστεί ως μια συνάρτηση που αποτελείται από κάποιες αριθμητικές συναρτήσεις.) Εικόνα

Δημοσθένης1043 · #2

επαναφορά

Tolaso J Kos · #3

Δημοσθένης1043 έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 01, 2024 8:26 pm
Για πρώτους μεταξύ τους θετικούς ακέραιους p, q, ορίζουμε. Όταν , να υπολογίσετε:

$\displaystyle{\sum_{x \in \mathbb{Q} \backslash {0}} F(x)^{-s}}$
και να αποδείξετε ότι είναι πάντα ρητός για άρτιες τιμές του s.

Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle F(s) = \sum_{x \in \mathbb{Q}^+} \frac{1}{f^s(x)} = \sum_{\substack{a,b=1 \\ \gcd(a, b)=1}}^{\infty} \frac{1}{\left ( ab \right )^s}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \zeta^2(s) &= \left ( \sum_{a=1}^{\infty} \frac{1}{a^s} \right )^2 \\ &=\sum_{a, b=1}^{\infty} \frac{1}{(ab)^s} \\ &=\sum_{d=1}^{\infty} \sum_{\substack{a, b=1 \\\gcd(a, b)=d}}^{\infty} \frac{1}{\left ( ab \right )^s} \\ &= \sum_{d=1}^{\infty} \frac{1}{d^{2s}} \sum_{\substack{a, b=1 \\\gcd(a, b)=1}}^{\infty} \frac{1}{\left ( ab \right )^s} \\ &= \zeta(2s) F(s) \end{aligned}}$

Συνοψίζοντας συναρτήσεις δυνάμεων: Πάντα ρητά για τιμές;

Συνοψίζοντας συναρτήσεις δυνάμεων: Πάντα ρητά για τιμές;

Re: Συνοψίζοντας συναρτήσεις δυνάμεων: Πάντα ρητά για τιμές;

Re: Συνοψίζοντας συναρτήσεις δυνάμεων: Πάντα ρητά για τιμές;

Μέλη σε σύνδεση