Ένα πρόβλημα δικής μου εμπνεύσεως.

Ωmega Man · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{\bf f(z)=\frac{\texttt{e}^{iz}}{(z-i)(z-1)(z+1)}}$ και το παρακάτω σχήμα έστω $\displaystyle{\mathfrak{F}}$ στο μιγαδικό επίπεδο. Αν κάθε κύκλος έχει ακτίνα $\displaystyle{\delta}$ , να υπολογιστεί το $\displaystyle{\bf \lim_{\delta\rightarrow 0}\oint_{\mathfrak{F}}f(z)\;\texttt{d}z}$ .
[attachment=0]pap.png[/attachment]

#2

Στο

η μιγαδική συνάρτηση $\displaystyle{f(z) = \frac{{{e^{iz}}}}{{\left( {z - i} \right)\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}}$ είναι μερόμορφη με απλούς πόλους στο εσωτερικό του σχήματος τους $\displaystyle{{z_{1,2,3}} = 1, - 1,i}$ .

Τότε για κάθε $\displaystyle{\delta > 0}$ ισχύει $\displaystyle{\oint\limits_\Im {f\left( z \right)dz} = 2\pi i \cdot \sum\limits_{n = 1}^3 {Res\left( {f\left( z \right);{z_n}} \right)} = 2\pi i \cdot \left( {\frac{{{e^i}}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + 1} \right)}} + \frac{{{e^{ - i}}}}{{\left( { - 1 - i} \right)\left( { - 1 - 1} \right)}} + \frac{{{e^{ - 1}}}}{{\left( {i - 1} \right)\left( {i + 1} \right)}}} \right) = .. = }$

$\displaystyle{ = 2\pi i\left( {\frac{{\cos \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{2e}}} \right)}$ . Οπότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{\delta \to 0} \oint\limits_\Im {\frac{{{e^{iz}}}}{{\left( {z - i} \right)\left( {z - 1} \right)\left( {z + 1} \right)}}dz} = 2\pi i\left( {\frac{{\cos \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{2e}}} \right)}$

Ένα πρόβλημα δικής μου εμπνεύσεως.

Ένα πρόβλημα δικής μου εμπνεύσεως.

Re: Ένα πρόβλημα δικής μου εμπνεύσεως.

Μέλη σε σύνδεση