Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

#21

Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}$ , όπου c>0

.

#22

Επαναφορά οι Ασκήσεις 8 και 9.

Λάμπρος Κατσάπας · #23

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 10:32 pm
Άσκηση 9

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}$ , όπου .

Έστω $a_n=\displaystyle{ \sqrt [n]{\left (c+ \frac {1}{n} \right ) \left (c+ \frac {2}{n} \right ) \left (c+ \frac {3}{n} \right )\cdot ... \, \cdot \left (c+ \frac {n}{n} \right )}}.$

Παίρνοντας λογάριθμο έχουμε να υπολογίσουμε το όριο της

$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln \left ( c+\dfrac{i}{n} \right )$ το οποίο είναι ίσο με

$\displaystyle \int_{0}^{1}\ln\left ( c+x \right )dx= \int_{c}^{c+1}\ln xdx=\left [ x\ln x-x \right ]_{c}^{c+1}=$

$\displaystyle \left ( c+1 \right )\ln \left ( c+1 \right )-c\ln c-1=\ln \left ( \dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c} \right ).$

Aπό τη συνέχεια της εκθετικής

$\displaystyle a_n=e^{\ln a_n}\rightarrow e^ {\ln\frac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}}=\dfrac{(c+1)^{c+1}}{ec^c}.$

Λάμπρος Κατσάπας · #24

Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}$

όπου

θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.

Tolaso J Kos · #25

’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

$\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}$

Λάμπρος Κατσάπας · #26

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:19 am
’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

$\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}$

Έχουμε

$\displaystyle\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}= \frac{\ln\left ( 1+\dfrac{k}{n} \right )\left ( \sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}-1 \right )}{n\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}}.$ $\left (\bigstar \right )$

Θα χρησιμοποιήσω τώρα το γεγονός ότι η $\dfrac{x-1}{x}$ είναι γνησίως αύξουσα και ότι $\ln\left ( 1+x \right )\leq x$

Είναι

$\displaystyle \dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\leq \dfrac{k}{n^2}\leq \dfrac{1}{n}$

και

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}-1 }{\sqrt{1+\dfrac{k}{n^2}}}\leq \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1 }{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}}=\dfrac{1}{n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}} \left ( \sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+1 \right ) }\leq \dfrac{1}{n}.$

Άρα από την $\left (\bigstar \right )$ και τις τελευταίες παίρνουμε

$\displaystyle\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}\leq \dfrac{1}{n^2}.$

Οπότε

$\displaystyle 0\leq \sum_{k=1}^{n}\left (\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}-\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }} \right )\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n}\rightarrow 0.$

Επιπλέον

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\ln\left ( 1+\dfrac{k}{n} \right )}{n}\rightarrow \int_{0}^{1}\ln(1+x)dx=\ln4-1.$

Τελικά

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}=$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}-\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}+ \dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\right )=$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {n^2 + k} }}-\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\right )+\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\ln \left( {1 + \dfrac{k}{n}} \right)}{n}\rightarrow 0+\ln 4-1=\ln 4-1.$

Λάμπρος Κατσάπας · #27

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:23 am
Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}$

Βγάζοντας το n^2

από τη ρίζα θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της ακολουθίας $\displaystyle \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{4-\left (\dfrac{k}{n} \right )^2}}$

το οποίο είναι ίσο με $\displaystyle \int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx=\left [ \arcsin \left ( \dfrac{x}{2} \right ) \right ]_{0}^{1}=\dfrac{\pi }{6}.$

Έχει μείνει αναπάντητη η Άσκηση 10

ChrP · #28

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 26, 2019 10:23 am
Άσκηση 8

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{\displaystyle{\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}$

$\frac{1}{\sqrt {4n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt {4n^2-2^2}}+...+\frac{1}{\sqrt {4n^2-n^2}}}=\frac{1}{n}(\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{1}{n})^2}}+\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{2}{n})^2}}+\cdots ++\frac{1}{\sqrt{4-(\frac{n}{n})^2}})$ )

$\rightarrow \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$ και στο ολοκλήρωμα x=2sint

με

$x^2=4-4cos^2(t) \Rightarrow 4-x^2=4cos^2(t) \Rightarrow \sqrt{4-x^2}=2cost$ άρα $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{2cost}{2cost}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}dt=\frac{\pi}{6}$

* με πρόλαβε ο κύριος Λάμπρος !

ChrP · #29

Να υπολογιστεί το όριο $lim_{n \to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}sin\frac{k\pi}{n+1}$

#30

ChrP έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 4:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο $lim_{n \to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n^2}sin\frac{k\pi}{n+1}$

H παράσταση είναι ανάμεσα στις $\displaystyle{\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n+1}\sin\dfrac{k\pi}{n+1}}$ και $\displaystyle{\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n}\sin\dfrac{k\pi}{n}}$ (άμεσο). Και ο δύο τείνουν στο $\displaystyle{\int _0^1x\sin (\pi x) \,dx= ...= \dfrac {1}{\pi}}$ (στάνταρ κατά παράγοντες). Και λοιπά.

Λάμπρος Κατσάπας · #31

ChrP έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 3:56 pm

άρα $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2cost}{2cost}dt=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}dt=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}$

Καλησπέρα. Αν θες διόρθωσε τα άκρα ολοκλήρωσης και το τελικό αποτέλεσμα.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 11:43 pm
Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}$

όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.

Εφαρμόζοντας ίδιο σκεπτικό με την Άσκηση 11:

Είναι

$\displaystyle \left |\dfrac{1}{1+ nc^ \frac{i}{n}}-\dfrac{1}{ nc^ \frac{i}{n}} \right |= \dfrac{1}{nc^{\frac{i}{n}}\left ( 1+nc^{\frac{i}{n}} \right )}\leq \dfrac{1}{n^2c^{\frac{2i}{n}} }\leq \dfrac{1}{n^2}$

και επομένως

$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\left |\dfrac{1}{1+ nc^ \frac{i}{n}}-\dfrac{1}{ nc^ \frac{i}{n}} \right |\leq \sum_{i=0}^{n} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{n+1}{n^2}\rightarrow 0$

Τελικά (όπως στην άσκηση 11)

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}= \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{n c^\frac{i}{n}}=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{c^x} dx=\dfrac{c-1}{c\ln c}.$

#32

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 10, 2020 8:53 pm
Άσκηση 10

Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}$

όπου θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας.

Πιο απλά.

Το άθροισμα είναι μεταξύ των $\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{(1+n) c^\frac{i}{n}}= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{ c^\frac{i}{n}}\,\,}$ και $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{n c^\frac{i}{n}}= \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{ c^\frac{i}{n}}}$ .

Και τα δύο τείνουν στο $\displaystyle{ \int _0^1\dfrac {1}{c^x}\,dx}$ . Και λοιπά.

#33

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:19 am
’Ασκηση 11

Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο :

$\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}$

Πιο απλά.

Το δοθέν άθροισμα είναι ανάμεσα στo $\displaystyle{ \sum _{k = 1}^n {\dfrac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + n} }} =\dfrac {1}{\sqrt {1+ 1/n} }\cdot \dfrac {1}{n} \sum _{k = 1}^n \ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)\,\,}$ και στο $\displaystyle{ \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} } }}=\dfrac {1}{n} \sum _{k = 1}^n \ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right ) }$ .

Και τα δύο τείνουν στο $\displaystyle{ \int _0^1 \ln (1+x)dx=\ln 4 -1}$ . Και λοιπά.

#34

Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση

Άσκηση 13

Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω (a_n)

ακολουθία θετικών όρων με $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=0}$ . Τότε

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \sum _{k=1}^n f \left ( \dfrac {k}{n} + a_n\right )= \int _0^1 f(x)\,dx}$

(Ωραίο θέμα για διαγώνισμα. Γιατί δεν το είχα σκεφθεί παλαιότερα...)
(Η μονοτονία δεν χρειάζεται. Απλά κάνει την ζωή ευκολότερη αλλά η άσκηση είναι προσιτή έτσι και αλλιώς. Η μονοτονία χρησιμοποιεί λιγότερα εργαλεία).

#35

Άσκηση 14

Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$ , όπου d>0

.

(Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης

. Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύτερη).

Tolaso J Kos · #36

Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{k+1/k}}$

#37

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:21 pm
Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{k+1/k}}$

Σίγουρα; Όπως είναι αποκλίνει στο άπειρο αφού $\displaystyle{ k^{k+1/k} \ge k^2}$ και το $\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2}$ είναι της τάξης (σταθερά επί) n^3

.

Μαντεύω ότι η σωστή διατύπωση έχει $\displaystyle{k^{(k+1)/k}}}$ . Σωστά;

Tolaso J Kos · #38

Σωστά... Τυπογραφικό λάθος.

#39

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:21 pm
Άσκηση 15

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}}$

Απάντηση: $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ . Το κάνω κάπως σχολαστικά για όφελος των φοιτητών.

Με χρήση των $\displaystyle{1\le k^{1/k} \to 1}$ έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}} \ge \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k}} = \frac{n(n+1)}{2n^2}\to \frac{1}{2}\, (*)}$ .

Έστω τώρα $\epsilon >0$ . Επιλέγουμε k_o

τέτοιο ώστε για κάθε $k\ge k_o$ είναι $1\le k^{1/k} < 1+\epsilon$ . Κατόπιν επιλέχουμε n_o

τέτοιο ώστε για κάθε $n\ge n_o$ έχουμε $\displaystyle{0< \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{k_o} k^{(k+1)/k} < \epsilon }$ . Άρα τότε

$\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}} = \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{k_o} k^{(k+1)/k}}+ \frac{1}{n^2}\sum_{k=k_o+1}^{n} k^{(k+1)/k}}< \epsilon + \frac{1}{n^2}\sum_{k=k_o+1}^{n} k (1+\epsilon) }<}$

$\displaystyle{ < \epsilon + \frac{1+\epsilon }{n^2}\sum_{k=1}^{n} k = \epsilon + \frac{1}{2} (1+\epsilon)\left ( 1+ \frac{1 }{n} \right )= \epsilon + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left ( \epsilon + \frac{1 }{n} + \frac{\epsilon }{n}\right ) < \frac{1}{2} + 4 \epsilon}$

Μαζύ με την (*)

βρήκαμε ότι για $n\ge n_o$ είναι $\displaystyle{\frac{1}{2} < \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{(k+1)/k}} < \frac{1}{2} + 4 \epsilon}$ , Και λοιπά.

#40

Άσκηση 16

Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας

$\displaystyle{ \displaystyle{ \dfrac {1}{n^{a+1}} \left ( [1^ad]+[2^ad]+[3^ad]+...+[n^ad]\right )}$ , όπου a>0

και

πραγματικός.

(το [c]

δηλώνει ακέραιο μέρος.)

(Οι Ασκήσεις

και

είναι ανοικτές).

Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 12

Re: Άσκηση 12

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση