Θεωρητική στις σειρές

manos1992 · #1

Σχετικά εύκολη αλλά έχει το κόλπο της...εκτός αν δε βλέπω κατι απλό.

Έστω $(a_k)_{k\in \mathbb{N}}$ ακολουθία γνήσια θετικών όρων.

Αν η $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{a_k}$ συγκλίνει

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{a_k}{\sum_{n=k}^{\infty}{a_n}}}$ αποκλίνει.

#2

manos1992 έγραψε:Σχετικά εύκολη αλλά έχει το κόλπο της...εκτός αν δε βλέπω κατι απλό.

Έστω $(a_k)_{k\in \mathbb{N}}$ ακολουθία γνήσια θετικών όρων.

Αν η $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{a_k}$ συγκλίνει

Να δειχθεί ότι η $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{a_k}{\sum_{n=k}^{\infty}{a_n}}}$ αποκλίνει.

Αποκλίνει από το κριτήριο Cauchy: Αν s το άθροισμα της σειράς και s_n

το τυπικό μερικό άθροισμα, τότε για κάθε σταθερό k έχουμε

$\frac{a_k}{\sum_{n=k}^{\infty}{a_n}} +\frac{a_{k+1}}{\sum_{n=k+1}^{\infty}{a_n}} + ... +\frac{a_{k+N}}{\sum_{n=k+N}^{\infty}{a_n}}$

$\ge \frac {a_k+a_{k+1}+...+a_{k+N}}{{\sum_{n=k+N+1}^{\infty}{a_n}}} =\frac {s_{k+N} - s_{k-1}}{{\sum_{n=k+N+1}^{\infty}{a_n}}} = \frac {s_{k+N} - s_{k-1}}{s - s_{k+N}} = \frac {s-s_{k-1}}{s-s_{k+N}}-1$

που τείνει το άπειρο καθώς Ν τείνει στο άπειρο, διότι $\lim_{N\rightarrow \infty} s_{k+N} = s$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

manos1992 · #3

Και η δικιά μου προσέγγιση περίπου ίδια είναι...το αφήνω λίγο μήπως βρεθεί κατι αλλο και θα τη γράψω μετά αν και διαφέρει σε λίγα πράγματα..

Ilias_Zad · #4

έστω $s_k=\sum_{n=k}^{\infty}a_n$ .
Τότε η s_k

φθίνει προς το μηδέν.
Τώρα εμείς μελετάμε την σειρά , $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{s_{k+1}}{s_{k}})$ . Aν η $\frac{s_{k+1}}{s_{k}}$ δεν πάει στο

τελειώσαμε.
Αν όχι τότε αφού $\frac{lnx}{x-1} \rightarrow 1$ , καθώς το

πάει στο

, αν συγκλίνει θα έπρεπε να συγκλίνει και η $\sum_{n=1}^{m}\ln \frac{s_{k+1}}{s_{k}}=\ln s_m-\ln s$ , άτοπο.

manos1992 · #5

Ωραία λύση Ηλία! Δεν έχω να προσθέσω τίποτα!

Θεωρητική στις σειρές

Θεωρητική στις σειρές

Re: Θεωρητική στις σειρές

Re: Θεωρητική στις σειρές

Re: Θεωρητική στις σειρές

Re: Θεωρητική στις σειρές

Μέλη σε σύνδεση