επικαμπύλιο

Ιστοσελίδα · #1

Μου ζήτησαν βοήθεια για το παρακάτω επικαμπύλιο

$\displaystyle{ \int\limits_r^{} {\frac{{x^2 dy - y^2 dx}}{{x^{5/3} + y^{5/3} }}} }$

όπου r το τέταρτο του αστροειδούς

$\displaystyle{ x = R\cos ^3 t }$ , $\displaystyle{ y = R\sin ^3 t }$ μεταξύ των σημείων $\displaystyle{ (R,0) }$ και $\displaystyle{ (0,R) }$

μια κατατοπιστική υπόδειξη θα με βοηθούσε .

#2

Βρίσκουμε το $\frac{dx}{dt}=-3R\cos^2 t \sin t$ και το $\frac{dy}{dt}=3R\sin^2 t \cos t$ ,

oπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα ισούται με

$\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \dfrac{3R^3\cos^2 t \sin^7 t +3R^3\sin^2 t\cos^7 t}{R^{5/3}(\cos^5 t+\sin^5 t)}\, dt=\int_0^{\pi/2} 3R^{4/3}\sin^2t\cos^2 t \, dt=\dfrac{3R^{4/3}\pi}{16}}$

κ.ο.κ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #3

Σ ευχαριστώ πολύ

επικαμπύλιο

επικαμπύλιο

Re: επικαμπύλιο

Re: επικαμπύλιο

Μέλη σε σύνδεση