Ανισοτητα

komi · #1

Να δειξετε την ανισοτητα :

$\displaystyle{{\left( {\frac{3}{e}} \right)^{\pi - 3}} > {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^{3 - e}}}$

#2

Αρκεί:
$\displaystyle{ (\pi - 3)\ln \frac{3}{e} > (3 - e)\ln \frac{\pi }{3} }$
Αρκεί:
$\displaystyle{ \frac{{\ln 3 - \ln e}}{{3 - e}} > \frac{{\ln \pi - \ln 3}}{{\pi - 3}}(3 - e > 0,\pi - 3 > 0) }$
Όμως τώρα αν πάρω το θεώρημα μέσης τιμής για τη συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \ln x }$ αντίστοιχα στα διαστήματα: $\displaystyle{ \left[ {e,3} \right],\left[ {3,\pi } \right] }$ έχω:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} f'(\xi _1 ) = \frac{{\ln 3 - \ln e}}{{3 - e}},\xi _1 \in \left( {e,3} \right) \\ f'(\xi _2 ) = \frac{{\ln \pi - \ln 3}}{{\pi - 3}},\xi _1 \in \left( {3,\pi } \right) \\ \end{array} }$
Αρκεί λοιπόν: $\displaystyle{ f'(\xi _1 ) > f'(\xi _2 ) }$ που ισχύει γιατί η συνάρτηση είναι κοίλη στο $\displaystyle{ [e,\pi ] }$ (Είναι $\displaystyle{ f''(x) = - \frac{1}{{x^2 }} < 0,\forall x \in \left( {e,\pi } \right) }$ και $\displaystyle{ f }$ συνεχής για κάθε $\displaystyle{ x \in \left[ {e,\pi } \right] }$ )

Ερώτηση:
Αλήθεια γιατί ανάλυση ΑΕΙ ;

#3

Μία λίγο διαφορετική αντιμετώπιση:

θεωρούμε την κοίλη συνάρτηση $\displaystyle{f(t)=\ln t, t>0.}$ Από την ανισότητα Jensen με βάρη $\displaystyle{a,b>0,a+b=1,}$ έχουμε

$\displaystyle{f(ax+by)\geq af(x)+bf(y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y>0.}$

Αν θέσουμε σε αυτήν $\displaystyle{x=\pi, y=e,a=\frac{3-e}{\pi-e},b=\frac{\pi-3}{\pi-e}}$ λαμβάνουμε τη ζητούμενη.

komi · #4

Πολύ ωραία . Σας ευχαριστώ και τους δυο.

Ανισοτητα

Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Μέλη σε σύνδεση