μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

#2

mathxl έγραψε: $I =\displaystyle \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx}$

Λόγω περασμένης ώρας δίνω μόνο τα κύρια βήματα ενός ανορθόδοξου τρόπου. Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.

Είναι

$\displaystyle{ \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1}= \frac{1}{2}\frac{{x+i}}{x^3+i}+ \frac{1}{2}\frac{{x-i}}{x^3-i}$

το οποίο αναλύεται σε απλά κλάσματα ως

$\displaystyle{= \left(\frac{A}{x-i} +\frac{Bx+C}{x^2+ix-1}\right) +\left(\frac{D}{x+i} +\frac{Ex+F}{x^2-ix-1}\right)$

Τώρα οι ολοκληρώσεις γίνονται κατά τα γνωστά. Το ότι εμφανίζονατι μιγαδικοί αριθμοί δεν μας ενοχλεί: οι κανόνες ολοκλήρωσης διατηρούνται.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

komi · #3

Δουλευοντας προς τα πισω :

$\displaystyle{\begin{array}{l} \int {\frac{{1 + {x^4}}}{{1 + {x^6}}}dx = \frac{1}{3} \int {\frac{{3 + 3{x^4}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2} + {x^4}} \right)}}} } dx = \\ \frac{1}{3}\int {\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} + 2 \left( {1 - {x^2} + {x^4}} \right)}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 - {x^2} + {x^4}} \right)}}} dx = \frac{1}{3} \left[ {\int {\frac{{1 + {x^2}}}{{1 - {x^2} + {x^4}}}dx + 2\int {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} } } \right] = \\ = \frac{1}{3}\left[ {\int {\frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{x}{{1 - {x^2}}}} \right)}^2}}} {{\left( {\frac{x}{{1 - {x^2}}}} \right)}^\prime }dx + 2\arctan x} } \right] = \frac{1}{3}\left[ {\arctan \left( {\frac{x}{{1 - {x^2}}}} \right) + 2\arctan x} \right] + c \end{array}}$

mathxl · #4

Καλημέρα.

Μία λύση που είδα

$\displaystyle{I = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^6} + 1}}dx} = \int {\frac{{{x^4} + 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{\left( {{x^4} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)}}dx} = }$

$\displaystyle{ = \int {\frac{{{x^4}\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^4}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}\left( {{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}dx} = \int {\frac{{\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2} \right]\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left[ {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 4} \right]\left( {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 1} \right)}}dx} \mathop = \limits_{\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = du}^{x - \frac{1}{x} = u} }$

$\displaystyle{ = \int {\frac{{{u^2} + 2}}{{\left( {{u^2} + 4} \right)\left( {{u^2} + 1} \right)}}dx} = \frac{2}{3}\int {\frac{{du}}{{{u^2} + 4}} + \frac{1}{3}} \int {\frac{{du}}{{{u^2} + 1}}} = \frac{1}{3}\arctan \frac{u}{2} + \frac{1}{3}\arctan u + c = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{3}\left( {\arctan \left( {x - \frac{1}{x}} \right) + \arctan \left( {\frac{{x - \frac{1}{x}}}{2}} \right)} \right) + c}$

Μόλις παρατήρησα ότι ο google chrome είναι πιο γρήγορος από τονΙΕ και έχει και αυτόματο ορθογραφικό έλεγχο!

μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

Re: μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

Re: μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

Re: μεταμεσονύχτιο ολοκλήρωμα 81

Μέλη σε σύνδεση