Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

giannisn1990 · #1

Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

$\int (3y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}})dx-(2x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}})dy$

στην καμπύλη

όπου

η θετικά προσανατολισμένη καμπύλη του επιπέδου με ίχνος την ένωση των γραφημάτων των συναρτήσεων y=64-4x^2

και

στο διάστημα [-4,4]

#2

Μια νέα* απόπειρα:

Αν $C_1=\bigl\{{(x,y)\in\mathbb{R} : -4\leq{x}\leq4\,, \ y=64-4x^2}\bigr\}$ και $C_2=\bigl\{{(x,y)\in\mathbb{R} : -4\leq{x}\leq4\,, \ y=4x^2-64}\bigr\}$ , τότε $C=C_1\cup{C_2}$ και $I=\displaystyle\ointctrclockwise_{C}{\bigl({3y-\tfrac{y}{x^2+y^2}}\bigr)\,dx-\bigl({2x+\tfrac{x}{x^2+y^2}}\bigr)\,dy}=$ \displaystyle{\displaystyle\ointctrclockwise_{C_1}{\bigl({3y-\tfrac{y}{x^2+y^2}}\bigr)\,dx-\bigl({2x+\tfrac{x}{x^2+y^2}}\bigr)\,dy}+\ointctrclockwise_{C_2}{\bigl({3y-\tfrac{y}{x^2+y^2}}\bigr)\,dx-\bigl({2x+\tfrac{x}{x^2+y^2}}\bigr)\,dy}=} I_1+I_2

.

Για τον υπολογισμό του I_1

, θέτουμε $\left\{ {\begin{array}{l} {x=t} \hfill \\ {y=64-4t^2} \hfill \\ \end{array}} \right\}$ , οπότε $I_1=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({64-4t^2})-\tfrac{64-4t^2}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({64-4t^2})^2}}\Bigr)\,({-8t})}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{-4 t^2+\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}-192\,dt}\,.$

Ομοίως για τον υπολογισμό του I_2

, θέτουμε $\left\{ {\begin{array}{l} {x=t} \hfill \\ {y=4t^2-64} \hfill \\ \end{array}} \right\}$ , οπότε $I_2=\displaystyle\int_{-4}^4{\Bigl[{\Bigl({3\,({4t^2-64})-\tfrac{4t^2-64}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,1-\Bigl({2t+\tfrac{t}{t^2+({4t^2-64})^2}}\Bigr)\,8t}\Bigr]\,dt}=\int_{-4}^4{4 t^2-\tfrac{64-12t^2}{16t^4-511t^2+4096}+192\,dt}=$

$-I_1\,.$ Επομένως $I=I_1+I_2=0\,.\quad\square$

: curve_int.png (35.6 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

(*) Μετά από π.μ. του Γιάννη, όπου μου επισήμανε ότι οι συναρτήσεις $P({x,y})=3y-\dfrac{y}{x^2+y^2}$ και $Q({x,y})=-2x-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}$ δεν ορίζονται στο (0,0)

(γεγονός που δεν είχα προσέξει), αποσύρω την "λύση" με την βοήθεια του θεωρήματος Green. Συγγνώμη για την "ταλαιπωρία".

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση