Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

#1

Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ ισχύει:
$\displaystyle{ f'(x) = n\left[ {f(x + \frac{1}{n}) - f(x)} \right],\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{ f }$

alex_eske · #2

Είναι: $f'(x)=n[f(x+1/n)-f(x)]=n\int_{x}^{x+1/n}f'(t)dt=n\int_{0}^{1/n}f'(x+t)dt$ . Όμως:
$f'(x)=n\int_{0}^{1/n}f'(x)dt$ . Άρα $\int_{0}^{1/n}(f'(x+t)-f'(x))dt=0, \forall x \in R, n \in N (*)$ . Από την υπόθεση προφανώς η ζητούμενη f ειναι 2 φορές παραγωγίσιμη και η f'' είναι συνεχής.
Ισχυρισμός: $f''(x)=0, \forall x \in R.$
Αν όχι τότε δίχως βλάβη υπάρχει $x \in R: f''(x)>0.$ Δηλαδή: $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}>0$ . Άρα υπάρχει $n \in N: \forall t \in (0,1/n): f'(x+t)-f'(x)>0.$ Άρα $\int_{0}^{1/n}(f'(x+t)-f'(x))dt>0$ : άτοπο από την (*).
Άρα πράγματι: $f''(x)=0, \forall x \in R => f(x)=ax+b$ ,για κάποια $a,b \in R.$ Μάλιστα αυτές είναι όλες αφού επαληθεύουν την ζητούμενη.

#3

chris_gatos έγραψε:Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{ f:R \to R }$ ισχύει:
$\displaystyle{ f'(x) = n\left[ {f(x + \frac{1}{n}) - f(x)} \right],\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$
Να βρείτε τον τύπο της $\displaystyle{ f }$

Άλλη λύση: Αφού το δεξί μέλος είναι παραγωγίσιμο, θα είναι και το αριστερό, και μάλιστα $\displaystyle{ f ''(x) = n\left[ {f '(x + \frac{1}{n}) - f '(x)} \right],\forall x \in R,\forall n \in N^ * }$ . Ειδικά η f''

είναι συνεχής (στη πραγματικότητα, άπειρες φορές παραγωγίσιμη). Θα δείξουμε ότι f''=0

.
Αν

(όμοια αν

) τότε υπάρχει περιοχή (x_0-d, x_0+d)

με

για

στην περιοχή. Άρα η f '

είναι γνήσια αύξουσα (*) στην ίδια περιοχή. Επιλέγουμε κατάλληλα μεγάλο

έτσι ώστε το $x_0+\frac{1}{n}$ να ανήκει στην περιοχή. Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi_n$ με $x_0+\frac{1}{n}>\xi_n > x_0$ τέτοιο ώστε $f '(x_0) = n\left[ {f(x + \frac{1}{n}) - f(x)}\right] = n {f ' (\xi_n)(x_0 + \frac{1}{n} - x_0) =f ' (\xi_n) > f '(x_0)$ λόγω της (*). Άτοπο.
Τελικά f''=0

άρα

γιά κάθε x, που ικανοποιεί την αρχική.

Φιλικά (προσωρινά από το εξωτερικό),

Μιχάλης

#4

Για $n=1: \ f^{\prime}(x)=f(x+1)-f(x),$ ενώ για $\displaystyle n=2:\ f^{\prime}(x)=2\left(f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)\right)$

Θέτοντας στην τελευταία $\displaystyle x:=x+\frac{1}{2}:\ f^{\prime}\left(x+\frac{1}{2}\right)=2\left(f\left(x+1\right)-f\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)$

Προσθέτοντας τις δυο τελευταίες: $\displaystyle f^{\prime}(x)+f^{\prime}\left(x+\frac{1}{2}\right)=2(f(x+1)-f(x))=2f^{\prime}(x)$ οπότε $\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(x+\frac{1}{2}\right)$ και τελικά $f^{\prime}$ σταθερή...

#5

Άσχετο αλλά τώρα που την κοιτάζω,είχα ξεχάσει(τι πρωτότυπο εκ μέρους μου τον τελευταίο καιρό!) πως η άσκηση ανήκει στον Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)!
Νίκο συγνώμη που δεν το είχα αναφέρει αρχικά αλλά κάπου έβοσκα!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nick1990 · #6

Ωραία, προσπαθήστε τώρα την παρόμοια αλλά μάλλον πιο δύσκολη από τον φετινό Putnam:

Να βρεθούν οι παραγωγίσημες συναρτήσεις $f: R \rightarrow R$ με
$f'(x) = \frac{f(x+n) - f(x)}{n} \forall (x,n) \in R \times N$

chris · #7

Nick1990 έγραψε:
Να βρεθούν οι παραγωγίσημες συναρτήσεις $f: R \rightarrow R$ με

$\displaystyle f'(x) = \frac{f(x+n) - f(x)}{n}, \forall (x,n) \in R \times N$

$\displaystyle \boxed{f'(x) = \frac{f(x+n) - f(x)}{n}, \forall (x,n) \in R \times N}(1)$

H (1)

για

το

και

δίνει: $\displaystyle \boxed{f'(x+1)=f(x+2)-f(x+1)}$
H (1)

για

δίνει: $\displaystyle \boxed{f'(x)=f(x+1)-f(x)}(2)$
H (1)

για

δίνει: $\boxed{f'(x)=\frac{f(x+2)-f(x)}{2}}(3)$

Απο τις (2),(3):

$\displaystyle 2f(x+1)-2f(x)=f(x+2)-f(x)\Leftrightarrow f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)\Leftrightarrow f'(x+1)=f'(x)\Leftrightarrow f(x+1)=f(x)+a\Leftrightarrow f(x+1)-f(x)=a\Leftrightarrow f'(x)=a\Leftrightarrow f(x)=ax+b,x\in \mathbb{R}$

Άρα $f(x)=ax+b,x\in \mathbb{R}$
που επαληθεύουν την (1)

air · #8

Αναρωτιέμαι αν η παρακάτω λύση κολλάει κάπου, γιατί μου φαίνεται πολύ απλή για θέμα διαγωνισμού Putnam.

Θέτω x=0 στη δοθείσα και προκύπτει:

$\frac{f(n)}{n}=f'(0)+\frac{f(0)}{n} \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{f(n)}{n}=f'(0)$ .

Έστω τώρα $x\in\mathbb R$ τυχαίος. Τότε ισχύει: $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{f(n+x)}{n+x}= \displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{f(n)}{n}=f'(0)$ και από τη αρχική σχέση:

$f'(x)= \displaystyle\frac{f(x+n)-f(x)}{n}= \displaystyle\frac{n+x}{n}(\frac{f(n+x)}{n+x}-\frac{f(x)}{n+x}) \ \forall n\in\mathbb N$ .

Με $n\to\infty$ παίρνουμε f'(x)=f'(0)

και αφού

τυχαίος, $f'(x)=f'(0) \forall x\in\mathbb R$ , δηλαδή οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι όλες της μορφής f(x)=ax+b

.

kostas_zervos · #9

Ψάχνοντας βρήκα το παρακάτω θέμα από Putnam:

Nick1990 έγραψε: Να βρεθούν οι παραγωγίσημες συναρτήσεις $f: R \rightarrow R$ με
$f'(x) = \frac{f(x+n) - f(x)}{n} \forall (x,n) \in R \times N$

Δίνω άλλη μια λύση:

Για n=1

έχουμε $f'(x)=f(x+1)-f(x)\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;(1)$ .

Από εδώ προκύπτει ότι η

είναι παραγωγίσιμη και f''(x)=f'(x+1)-f'(x)

.

Αλλά από την (1)

έχουμε

και έτσι
$f''(x)=\left[f(x+2)-f(x+1)\right]-\left[f(x+1)-f(x)\right]\iff$
$\iff f''(x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)\;\;(2)$ .

Έτσι από τις $(1)\;,\;(2)$ έχουμε
$f''(x)+2f'(x)=\left[f(x+2)-2f(x+1)+f(x)\right]+2\left[f(x+1)-f(x)\right]\iff$
$\iff f''(x)+2f'(x)=f(x+2)-f(x)\;\;(3)$ .

Αλλά η αρχική για n=2

γίνεται

.

Άρα από την (3)

έχουμε $f''(x)=0 \iff f(x)=ax+b$ που ικανοποιεί και τα αρχικά.

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Re: Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση