Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

#1

Έστω

τό επίπεδο χωρίο πού ορίζεται από τίς καμπύλες:

$x^2\,y=1$ , $x^2\,y=2$ καί τίς ευθείες y=x

καί

, καί $\gamma$ τό αρνητικά προσανατολισμένο σύνορό του.

Νά υπολογισθεί τό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:

$I=\displaystyle\oint_{\gamma}{\left({e^{-x^2}-6y}\right)dx+\left({4x-7y^7}\right)dy}$ .

Ωmega Man · #2

Από θεώρημα Green
$\displaystyle I=-\iint_{D}10\;dx\;dy=-10\int_{1}^{2}\int_{\frac{1}{\sqrt{y}}}^{\sqrt{\frac{2}{y}}}\;dx\;dy=-10(6-4\sqrt{2})$ .

#3

Mancar Camoran, προφανής η εφαρμογή τού Θεωρήματος Green, αλλά βρίσκω διαφορετικό αποτέλεσμα:

Γιά τό επίπεδο χωρίο

πού ορίζεται από τίς καμπύλες: $x^2\,y=1$ , $x^2\,y=2$ καί τίς ευθείες y=x

καί

καί τίς συναρτήσεις $P({x,y})=e^{-x^2}-6y$ καί $Q({x,y})=4x-7y^7$ πλοιρούνται οί προυποθέσεις γιά τό Θεώρημα Green.

Επομένως $I=\displaystyle\oint_{\gamma}{\left({e^{-x^2}-6y}\right)dx+\left({4x-7y^7}\right)dy}=\iint_{S}{-\frac{\partial}{\partial{x}}\!\left({4x-7y^7}\right)+\frac{\partial}{\partial{y}}\!\left({e^{-x^2}-6y}\right)dx\,dy}=$ $-10\displaystyle\iint_{S}{dx\,dy}$ .

Θεωρώντας τήν αλλαγή συντεταγμένων $\left\{{\begin{array}{l} u=x^2\,y\\\noalign{\vspace{0.1cm}} v=\frac{y}{x} \end{array}}\right\}$ προκύπτουν $\displaystyle\frac{\partial({x,y})}{\partial({u,v})}=\frac{1}{\frac{\partial({u,v})}{\partial({x,y})}}=\frac{1}{3y}=\frac{1}{3\sqrt[3]{u\,v^2}}$ καί $S=\left\lbrace{({u,v})\in\mathbb{R}^2:\,1\leq{u}\leq2,\,1\leq{v}\leq2}\right\rbrace$ .

Επομένως $I=\displaystyle-10\int_{1}^{2}\!\int_{1}^{2}{\frac{1}{3\sqrt[3]{u\,v^2}}\,du\,dv}=15\left({\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-3}\right)\,.\quad\square$

Ωmega Man · #4

Αν παρατηρήσουμε το σχήμα $1\leq y \leq 2$ και $1/{y^2}\leq x \leq 2/{y^2}$ .

#5

Mancar Camoran έγραψε:Αν παρατηρήσουμε το σχήμα $1\leq y \leq 2$ και $1/{y^2}\leq x \leq 2/{y^2}$ .

Νομίζω ότι δέν είναι σωστό τό $1/{y^2}\leq x \leq 2/{y^2}$ ή τό $\dfrac{1}{\sqrt{y}}\leq{x}\leq\sqrt{\dfrac{2}{y}}$ .
Το $D=\left\lbrace{({x,y})\in\mathbb{R}^2:\,1\leq{y}\leq2,\,\frac{1}{\sqrt{y}}\leq{x}\leq\sqrt{\frac{2}{y}}}\right\rbrace$ είναι τό γραμμοσκιασμένο χωρίο καί όχι τό ζητούμενο.

: epikampilio.png (64.64 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Ωmega Man · #6

Ναι όντως το μεγάλωσα λιγάκι....

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Re: Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1

Μέλη σε σύνδεση