Είναι πολυώνυμο

Bern · #1

Έστω

φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb R\to \mathbb R$ ώστε $f(x)\cdot f^{(n)}(x)=0$ για κάθε $x\in \mathbb R$ . Δείξτε ότι η

είναι πολυώνυμο με ${\rm deg}(f)<n$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀρκεῖ νά δείξομε ὅτι $f^{(n)}(x)=0$ , διά κάθε $x\in\mathbb R$ . Ἔστω $A=\{x\in\mathbb R : f(x)=0\}$ καί $B=\{x\in\mathbb R : f^{(n)}(x)=0\}$ . Προφανῶς $A\cup B=\mathbb R$ , ὁπότε ἀρκεῖ νά δείξομε ὅτι, $A\subset B$ . Ἔστω λοιπόν $x\in A$ . Τότε διακρίνομε δύο περιπτώσεις:

α.

σημεῖο συσσωρεύσεως τοῦ

.

β.

μεμονωμένο σημεῖο τοῦ

.

Στήν περίπτωση α. ὑπάρχει γνησίως μονότονη ἀκολουθία $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset A$ , ὥστε $x_n\to x$ . Ἔχομε κατ᾽ ἀρχάς ὅτι f'(x)=0

, ἀφοῦ

$\displaystyle{ \frac{f(x_n)-f(x)}{x_n-x} \,=\, 0. }$

Χρησιμοποιῶντας τό Θεώρημα Rolle βρίσκομε ἐπίσης γνησίως μονότονη ἀκολουθία $\{y_n\}_{n\in\mathbb N}$ , $y_n\in(x_n,x_{n+1})$ , ὥστε f'(y_n)=0

, $y_n\to x$ καί f''(x)=0

. Ἐπαναλαμβάνοντας τήν διαδικασία αὑτή n-1

φορές, ἀποδεικνύομε ὅτι $f^{(n)}(x)=0$ . Ἄρα, $x\in B$ .

Στήν περίπτωση β. ὑπάρχει $\varepsilon>0$ , ὥστε $f(y)\ne 0$ , διά κάθε $y\in (x-\varepsilon,x)\cup(x,x+\varepsilon)$ . Αὐτό ὅμως σημαίνει ὅτι $f^{(n)}(y)=0$ , διά κάθε $y\in (x-\varepsilon,x)\cup(x,x+\varepsilon)$ , τό ὁποῖο, λόγω τοῦ Θεωρήματος Darboux, συνεπάγεται ὅτι $f^{(n)}(x)=0$ . (Ἡ ἄσκηση δέν μας δίδει ὅτι ἡ $f^{(n)}$ εἶναι συνεχής, ὁπότε ἀπαιτεῖται ἡ χρήση τοῦ Θ. Darboux.) Ἄρα, $x\in B$ .

Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Είναι πολυώνυμο

Είναι πολυώνυμο

Re: Είναι πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση