Σημεία ασυνέχειας

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Bern · #2

Ορέστη, κλασική είναι αυτή. Είναι παράδειγμα συνάρτησης που είναι ασυνεχής ακριβώς στους ρητούς. Δες εδώ.

Υπάρχει συνάρτηση που να είναι συνεχής στους ρητούς και ασυνεχής στους άρρητους;

kostas_zervos · #3

orestisgotsis έγραψε:Να βρεθούν τα σημεία ασυνέχειας της $\displaystyle{f(x)=\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 0, & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \\ \displaystyle{\frac{1}{q}, & x\in \mathbb{Q},\,\,x=\displaystyle{\frac{p}{q},\,\,\left( p,q \right)=1 \\ \end{matrix} \right.}$

Η ασυνέχεια σε κάθε ρητό μπορεί να δειχτεί εύκολα με τον παρακάτω τρόπο:

Αν $x_0\in \mathbb{Q}$ , τότε είναι $x_0=\dfrac{p}{q}\;,\;(p,q)=1$ και $f(x_0)=\dfrac{1}{q}\neq 0$ .

Αλλά υπάρχει μία ακολουθία x_n

άρρητων με $\lim x_n=x_0$ .

Άρα $\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim f(x_n)=\lim 0=0\neq f(x_0)$ .

Επομένως δεν είναι συνεχής σε κάθε ρητό x_0

.

Θα κοιτάξω για αντίστοιχη λύση (χωρίς τη χρήση $\varepsilon\;,\;\delta$ ) για τη συνέχεια σε x_0

άρρητο , διαφορετικά η παραπάνω παραπομπή έχει τη λύση με $\varepsilon\;,\;\delta$ . Μια λύση με $\varepsilon\;,\;\delta$ υπάρχει στο βιβλίο του Louis Brand που είχε εκδώσει η ΕΜΕ παλιά.

Ιστοσελίδα · #4

Bern έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση που να είναι συνεχής στους ρητούς και ασυνεχής στους άρρητους;

Δεν υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που να είναι συνεχής στους ρητούς και ασυνεχής στους άρρητους.

Αν συνέβαινε αυτό τότε το σύνολο των σημείων στα οποία η

είναι συνεχής, δηλαδή το $\mathbb{Q} ,$
θα ήταν $G_{\delta}$ υποσύνολο του $\mathbb{R} .$

Όμως το $\mathbb{Q} ,$ σαν συνέπεια του θεωρήματος Baire, δεν είναι $G_{\delta}$ υποσύνολο του $\mathbb{R} .$

Σημεία ασυνέχειας

Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Re: Σημεία ασυνέχειας

Μέλη σε σύνδεση