Όριο

air · #1

Να βρεθεί το όριο:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\displaystyle \frac{(1+tan^2(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{x})))\pi}{x \: tan(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{x}))}$

#2

air έγραψε:Να βρεθεί το όριο:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\displaystyle \frac{(1+tan^2(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{x})))\pi}{x \: tan(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{x}))}$

Δεν νομίζω ότι είναι για ΑΕΙ η άσκηση, αλλά ας είναι.

Γράφοντας

στη θέση του $\pi /x$ και με χρήση του $\tan \left ( \frac {\pi}{2}-\theta \right ) =\cot \theta = \frac {\cos \theta} {\sin \theta}$ η δοθείσα παράσταση ισούται

$\displaystyle\lim_{y \to 0+}\displaystyle \frac{y(1+ \frac {\cos ^2 y} {\sin ^2 y}) }{ \frac {\cos y} {\sin y}} = \lim_{y \to 0+}\displaystyle \frac{y} { \sin y} \cdot \frac {1}{\cos y}=1\cdot 1 = 1}$

M.

air · #3

Ωραία, ευχαριστώ πολύ. Το όριο είναι ίσως πράγματι τετριμμένο για ΑΕΙ, ωστόσο ήθελα να το παρουσιάσω εδώ (ίσως ο φάκελος των Πιθανοτήταν να ήταν μάλιστα πιο κατάλληλος), καθώς έχει την ακόλουθη ενδιαφέρουσα ερμηνεία:

Έστω $F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}arctanx$ η συνάρτηση κατανομής του Cauchy, τότε παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $U(t) = \tan(\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}))$ είναι η αντίστροφη της συνάρτησης $\frac{1}{1-F}$ (τουλάχιστον για αρκετά μεγάλα

).

Επίσης παρατηρούμε ότι μπορούμε να γράψουμε το παραπάνω όριο ως εξής:

$\displaystyle \lim_{t\to\infty} \frac{t U\prime(t)}{U(t)} = 1$

Τώρα έστω $X_1,...,X_n \stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathrm{Cauchy}$ .

Επειδή $\infty = \sup\{x: F(x) < 1\}$ , έπεται απο γνωστή συνθήκη του Von Mises (π.χ. De Haan, 2006, Extreme Value Theory: An Introduction, Corollary 1.1.12.), ότι:

$\frac{max(X_1,...,X_n) - U(n)}{nU\prime(n)} \stackrel{\text{D}}{\to} \Psi$ ,

όπου $\Psi(x) = \exp(-(1+x)^{-1}), x > -1$ , η κατανομή του Frechet με παράμετρο 1 (και κατάλληλη μετατόπιση).

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση