Πλήθος σημείων συνέχειας!

sokratis lyras · #1

Να αποδειχθεί ότι κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση σε κλειστό διάστημα έχει άπειρα σημεία συνέχειας.

#2

Λόγω του φακέλου που βρισκόμαστε:
Γιατί άραγε να αρκεσθούμε σε αυτό όταν υπάρχει το ισχυρότερο αποτέλεσμα ότι:
Μία συνάρτηση είναι Riemann-ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν το σύνολο των σημείων ασυνεχείας της έχει μέτρο ;
Μαυρογιννης

7apostolis · #3

Καλησπέρα,
θυμάμαι ότι σε μια εργασία στο American Mathematical Monthly υπάρχει το φαινομενικά ασθενέστερο αποτέλεσμα:

Αν η

φραγμένη στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ τότε: Η

είναι Riemann-ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν η

έχει αριστερό όριο σχεδόν παντού στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ .

Όμως το θεώρημα αυτό και το θεώρημα που αναφέρει ο Νίκος παραπάνω είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμα, αφού στο άρθρο αποδεικνυόταν η ισοδυναμία:

Αν η

φραγμένη στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ τότε: Η

είναι σχεδόν παντού συνεχής στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ αν και μόνο αν η

έχει αριστερό όριο σχεδόν παντού στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ .

(αν κάποιος ενδιαφέρεται για το άρθρο να το ψάξω)

Α. Παπαδογιαννάκης

#4

Η απόδειξη όμως αυτού που ζητάει ο Σωκράτης είναι πιο απλή από το κριτήριο Lebesgue. Ας την δούμε λοιπόν. Βασίζεται σε δυο ιδιότητες που απορρέουν από τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann:

(1) Αν η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [a,b]

τότε είναι και Riemann ολοκληρώσιμη σε κάθε υποδιάστημα του [a,b]

.

(2) Αν η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [a,b]

τότε για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει υποδιάστημα

του

ώστε $\displaystyle{\mathrm{Var}(f,I):=\max_{x \in I} f(x) - \min_{x\in I} f(x) < \varepsilon}$ .

Αυτές οι δυο ιδιότητες είναι αρκετές για να δείξουμε ότι αν η

είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο [a,b]

τότε κάθε υποδιάστημα του [a,b]

περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο συνέχειας της

. Πράγματι έστω I_0

ένα τέτοιο υποδιάστημα. Από το (α) η

είναι ολοκληρώσιμο στο I_0

και άρα από το (β) υπάρχει $I_1 \subseteq I_0$ ώστε $\mathrm{Var}(f,I_1) < 1$ . Μπορώ να υποθέσω ότι και τα δύο άκρα του I_1

είναι διαφορετικά από τα άκρα του I_0

. Η

είναι ολοκληρώσιμη στο I_1

και άρα υπάρχει $I_2 \subseteq I_1$ ώστε $\mathrm{Var}(f,I_2) < 1/2$ με τα δύο άκρα του I_2

είναι διαφορετικά από τα άκρα του I_1

. Συνεχίζοντας επαγωγικά μπορούμε να βρούμε $I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots$ ώστε για κάθε

να έχουμε $\mathrm{Var}(f,I_n) < 1/n$ και επιπλέον τα δύο άκρα του I_n

είναι διαφορετικά από τα άκρα του $I_{n-1}$ . Από αρχή κιβωτισμού τα $I_0,I_1,\ldots$ έχουν (τουλάχιστον) ένα κοινό στοιχείο, έστω το $\xi$ . Ισχυρίζομαι ότι το $\xi$ είναι σημείο συνέχειας της

. Πράγματι έστω $\varepsilon > 0$ . Παίρνω

ώστε $\varepsilon < 1/n$ . Έστω I_n = [a_n,b_n]

και έστω $I_{n+1} = [a_{n+1},b_{n+1}]$ . Θέτω $\delta = \min\{a_{n+1}-a_n,b_n-b_{n+1}\}$ . Είναι $\delta > 0$ και επειδή $\xi \in I_{n+1}$ αν $|\xi - y| < \delta$ τότε $y \in I_n$ και άρα $|\xi - y| < 1/n < \varepsilon$ .

Πλήθος σημείων συνέχειας!

Πλήθος σημείων συνέχειας!

Re: Πλήθος σημείων συνέχειας!

Re: Πλήθος σημείων συνέχειας!

Re: Πλήθος σημείων συνέχειας!

Μέλη σε σύνδεση