Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

#1

Αν

ένα συμπαγές υποσύνολο του

και $B\subseteq A$ με $card(B)=\aleph_{0}$ , τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:A\to R$ , ώστε ο περιορισμός της στο

να είναι 1 προς 1.

#2

Ίσως δεν έχω καταλάβει κάτι καλά, αλλά αν θέσουμε A=[0,1]

, $B=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ , θαρρώ πως η f(x)=x

έχει τις ζητούμενες ιδιότητες..

#3

Χωρίς αμφιβολία τις έχει αλλά αυτό δεν απαντά στη γενική περίπτωση.
Φιλικά κι' ας μην έχεις φίλους

#4

s.kap έγραψε:Χωρίς αμφιβολία τις έχει αλλά αυτό δεν απαντά στη γενική περίπτωση.
Φιλικά κι' ας μην έχεις φίλους

Σωστά. Η ερώτηση ήταν γενικότερη

#5

Μα αν δεν κάνω λάθος η f(x) = x

περιορισμένη στο

έχει τις ζητούμενες ιδιότητες (ακόμη και αν το

δεν είναι συμπαγές).

#6

Έχεις δίκιο Δημήτρη, δεν το πρόσεξα ότι ήταν τόσο απλό. Πως μπορεί να απαντηθεί αν στη θέση του συμπαγούς

είχαμε έναν συμπαγή μετρικό χώρο

;

peter · #7

Αυτό το είχαμε συζητήσει παλιότερα με τον dement στο forum του τμήματος Μαθηματικών: Έστω (X,d)

συμπαγής μετρικός χώρος και $A\subseteq X$ αριθμήσιμο. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:X\to \mathbb R$ ώστε $f(x)\neq f(y)$ για κάθε $x,y\in A$ με $x\neq y$ .

Η απόδειξη παρακάτω είναι του dement και χρησιμοποιεί μόνο το φραγμένο του χώρου (X,d)

.

Απόδειξη. Εστω (X,d)

φραγμενος μετρικος χωρος με $d(x,y) \leq M \ \forall x,y \in X$ . Εστω $A = \{ x_1, x_2, x_3,... \}$ αριθμησιμο υποσυνολο του. Οριζουμε $A_n \equiv \{x_1, x_2, ..., x_n \}$ .

Για καθε ζευγος $x_k, x_l \in A \ (k \neq l)$ και συναρτηση $f:X \longrightarrow \mathbb{R}$ οριζω το λογο μεταβολης $R_f(k,l) \equiv \frac{|f(x_k) - f(x_l)|}{d(x_k,x_l)}$

Εστω (p_n)

οποιαδηποτε ακολουθια με $0 < p_n < 1 \ \forall n \in \mathbb{N^*}$ και $\prod_{k=1}^{\infty} (1 - p_k) > 0$

Οριζουμε αναδρομικα την ακολουθια συναρτησεων $(f_n),\ f_n:X \longrightarrow \mathbb{R}$ ως εξης :

f_1 (x) = d(x, x_1)

. Εστω η

ορισμενη.

Θετουμε $X = \{ p_m \cdot R_{f_m}(k, l) : x_k,x_l \in A_{m+1} \} - \{ 0 \}$ και $\epsilon_m = \min X \cup \left\{ \frac{1}{M \cdot 2^m} \right\}$ .

Οριζουμε $f_{m+1} (x) \equiv f_m (x) + \epsilon_m \cdot d(x, x_{m+1} )$ .

Αφου $\epsilon_m \leq \frac{1}{M \cdot 2^m} \Longrightarrow |f_{m+1}(x) - f_m(x)| \leq 2^{-m} \ \forall x \in X$ εχουμε (κριτηριο Weierstrass) οτι η (f_n)

συγκλινει ομοιομορφα σε μια συναρτηση

. Αφου ολες οι f_n

ειναι συνεχεις, θα ειναι και η

συνεχης.

Επισης διαπιστωνουμε οτι για καθε k,l,m

με

ισχυει $|f_{m+1} (x_k) -f_{m+1}(x_l )|$ $\geq |f_m(x_k) - f_m(x_l)| - \epsilon_m \cdot |d(x_k,x_{m+1}) - d(x_l, x_{m+1})|$

$\geq |f_m(x_k) - f_m(x_l)| - \epsilon_m \cdot d(x_k, x_l)$

$\geq |f_m(x_k) - f_m(x_l)| - p_m |f_m(x_k) - f_m(x_l)| =$ (1 - p_m)|f_m(x_k) - f_m(x_l)|

Aπο αυτη τη σχεση αποδεικνυεται επαγωγικα οτι ο περιορισμος της f_n

στο

ειναι 1-1. Απο αυτο και απο το γεγονος οτι η (1 - p_n)

εχει θετικο γινομενο στο απειρο, συμπεραινουμε οτι $f(x_k) \neq f(x_l)$ που ολοκληρωνει την αποδειξη.

#8

Μαθηματικά α' ποιότητας.

Ευχαριστούμε θερμά.

Μ.

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Re: Υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση