Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ρίζα

Tolaso J Kos · #1

Ζητείται στοιχειώδη απόδειξη του παρακάτω ολοκληρώματος: $\displaystyle{\int_0^1 \frac{\ln u}{\sqrt{u^2+4}}\, {\rm d}u}$ έτσι ώστε να αποφευχθούν οι πολυλογάριθμοι κατά τη διάρκεια των υπολογισμών.

pprime · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Ζητείται στοιχειώδη απόδειξη του παρακάτω ολοκληρώματος: $\displaystyle{\int_0^1 \frac{\ln u}{\sqrt{u^2+4}}\, {\rm d}u}$ έτσι ώστε να αποφευχθούν οι πολυλογάριθμοι κατά τη διάρκεια των υπολογισμών.

$\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}+4}}dx}\underbrace{=}_{x=\frac{2}{t}-\frac{t}{2}}\int\limits_{\sqrt{5}-1}^{2}{\frac{\ln \left( \frac{2}{t}-\frac{t}{2} \right)}{\frac{2}{t}+\frac{t}{2}}\cdot \left( \frac{2}{t^{2}}+\frac{1}{2} \right)dt}=\int\limits_{\sqrt{5}-1}^{2}{\frac{1}{t}\ln \left( \frac{2}{t}-\frac{t}{2} \right)dt}\underbrace{=}_{t=2u}\int\limits_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{1}{\frac{1}{u}\ln \left( \frac{1}{u}-u \right)du}}$

$\displaystyle{=\int\limits_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{1}{\frac{\ln \left( 1-u^{2} \right)-\ln u}{u}du}=\int\limits_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{1}{\frac{\ln \left( 1-u^{2} \right)}{u}du}-\int\limits_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{1}{\frac{\ln u}{u}du}}$

$\displaystyle{=-\left( \frac{\ln ^{2}1}{2}-\frac{\ln ^{2}\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}{2} \right)+\int\limits_{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{1}{\frac{\ln \left( 1-u^{2} \right)}{u}du}=\frac{\ln ^{2}\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}{2}-\left( \frac{\text{Li}_{2}\left( 1 \right)}{2}-\frac{\text{Li}_{2}\left( \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^{2} \right)}{2} \right)}$

$\displaystyle{=\frac{\ln ^{2}\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}{2}-\left( \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}-\frac{\text{Li}_{2}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}{2} \right)=\frac{\ln ^{2}\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}{2}-\left( \frac{\pi ^{2}}{12}-\frac{\pi ^{2}}{30}+\frac{\ln ^{2}\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}{2} \right)}$

$\displaystyle{=-\frac{\pi ^{2}}{20}}$

Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ρίζα

Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ρίζα

Re: Ολοκλήρωμα με λογάριθμο και ρίζα

Μέλη σε σύνδεση