Συνάρτηση Γάμμα - Όριο και Ολοκλήρωμα

#1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση γάμμα και $\displaystyle{a_n=(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1))^{-1/n}}$ .

Υπολογίστε, αν υπάρχει, το όριο $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n^2\int_{a_{n+1}}^{a_n}\Gamma(n^2x^2)\,dx}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

r9m · #2

Από Stirling approximation μας δίνει $\displaystyle a_n = \left((2n-1)!!\right)^{-1/n} \sim \frac{e}{2n}$
και δεδομένου ότι η Γάμμα είναι μια συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ εφαρμόζουμε το πρώτο Θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα και έχουμε, $\displaystyle{n^2\int_{a_{n+1}}^{a_n} \Gamma\left(n^2x^2\right)\,dx = n\int_{na_{n+1}}^{na_n} \Gamma\left(x^2\right)\,dx = n^2(a_n - a_{n+1})\Gamma\left(\xi_n^2\right)}$ για κάποια $\displaystyle \xi_n \in (na_n,na_{n+1})$ .
Αυτό είναι $\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} \xi_n = \frac{e}{2}$ και ως εκ τούτου $\displaystyle \lim\limits_{n\to \infty} n^2\int_{a_{n+1}}^{a_n} \Gamma\left(n^2x^2\right)\,dx = \frac{e}{2}\Gamma\left(\frac{e^2}{4}\right)$ .

Συνάρτηση Γάμμα - Όριο και Ολοκλήρωμα

Συνάρτηση Γάμμα - Όριο και Ολοκλήρωμα

Re: Συνάρτηση Γάμμα - Όριο και Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση