ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Mαριάννα · #1

Καλησπέρα σας !
Πώς μπορώ να αποδείξω ότι αν μια συνάρτηση

είναι αναλυτική κατά μήκος και στο εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης

και $z_{0}$ είναι ένα σημείο στο εσωτερικό της

, τότε ισχύει ότι $\int \frac{f'(z)}{z-z_{0}}dz=\int \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz$ ;;

ευχαριστώ πολύ !

#2

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Πώς μπορώ να αποδείξω ότι αν μια συνάρτηση είναι αναλυτική κατά μήκος και στο εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης και $z_{0}$ είναι ένα σημείο στο εσωτερικό της , τότε ισχύει ότι $\int \frac{f'(z)}{z-z_{0}}dz=\int \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz$ ;;

ευχαριστώ πολύ !

$\displaystyle{f\left( z \right) = f\left( {{z_o}} \right) + \frac{{f'\left( {{z_o}} \right)}}{{1!}}\left( {z - {z_o}} \right) + \frac{{f''\left( {{z_o}} \right)}}{{2!}}{\left( {z - {z_o}} \right)^2} + .. \Rightarrow \frac{{f\left( z \right)}}{{{{\left( {z - {z_o}} \right)}^2}}} = \frac{{f\left( {{z_o}} \right)}}{{{{\left( {z - {z_o}} \right)}^2}}} + \frac{{f'\left( {{z_o}} \right)}}{{\left( {z - {z_o}} \right)}} + \frac{{f''\left( {{z_o}} \right)}}{{2!}} + .. \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow Res\left( {\frac{{f\left( z \right)}}{{{{\left( {z - {z_o}} \right)}^2}}},z = {z_o}} \right) = f'\left( {{z_o}} \right) \Rightarrow \int\limits_C {\frac{{f\left( z \right)}}{{{{\left( {z - {z_o}} \right)}^2}}}dz} = 2\pi i \cdot f'\left( {{z_o}} \right)}$

και

$\displaystyle{f'\left( z \right) = \frac{{f'\left( {{z_o}} \right)}}{{1!}} + 2 \cdot \frac{{f''\left( {{z_o}} \right)}}{{2!}}\left( {z - {z_o}} \right) + .. \Rightarrow \frac{{f'\left( z \right)}}{{\left( {z - {z_o}} \right)}} = \frac{{f'\left( {{z_o}} \right)}}{{\left( {z - {z_o}} \right)}} + 2 \cdot \frac{{f''\left( {{z_o}} \right)}}{{2!}} + .. \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow Res\left( {\frac{{f'\left( z \right)}}{{\left( {z - {z_o}} \right)}},z = {z_o}} \right) = f'\left( {{z_o}} \right) \Rightarrow \int\limits_C {\frac{{f'\left( z \right)}}{{\left( {z - {z_o}} \right)}}dz} = 2\pi i \cdot f'\left( {{z_o}} \right)}$

Η ισότητα έπεται.

Θεωρούμε γνωστό ότι αν $\displaystyle{f\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{a_n}{{\left( {z - {z_o}} \right)}^n}} }$ είναι η σειρά Laurent μιας μερόμορφης μιγαδικής συνάρτησης τότε $\displaystyle{Res\left( {f\left( z \right),z = {z_o}} \right) = {a_{ - 1}}}$

Mαριάννα · #3

μαλιστα, καταλαβα. σας ευχαριστώ πολύ !

#4

Το ότι και τα δύο ολοκληρώματα ισούνται με $2\pi i f'(z_0)$ είναι άμεση συνέπεια του Cauchy's Integral Formula που λέει ότι (υπό τις κατάλληλες συνθήκες)

$\displaystyle{ g^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{g(z)}{(z-z_0)^{n+1}} \, \mathrm{d}z }$

Απλά την εφαρμόζουμε μία φορά με g(z) = f(z)

και

και μία με g(z) = f'(z)

και

. Χρειάζεται επιπλέον η γνώση ότι η

είναι επίσης αναλυτική κάτι όμως που επίσης είναι άμεση συνέπεια του Cauchy's Integral Formula.

Ίσως η άσκηση να ήθελε χρήση του Cauchy's Integral Formula παρά του θεωρήματος Laurent αφού το δεύτερος συνήθως αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας το πρώτο.

Βαγγέλης Κομπότης · #5

Αν προυποθέσουμε τη χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων, τότε κάθε ολοκήρωμα επί μιας κλειστής καμπύλης ανάγεται σε άθροισμα ολοκληρωμάτων επί κύκλων που έχουν ως κεντρα τις ανωμαλίες στο εσωτερικό της καμπύλης. Μόλις κάνουμε την αναγωγή αυτή η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως δυναμοσειρά. Στη συνέχεια μπορούμε να λάβουμε επίσης υπόψη μας ότι απ' τους όρους της μορφής (z-z_o)^n

, μόνο εκείνοι για τους οποίους n=-1

μπορεί να έχουν μη μηδενικό ολοκλήρωμα. Τέλος, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι
z_o=0

. Μετά απ' όλες αυτές τις αναγωγές, αρκεί να εργαστούμε με f(z)=a_o+a_1z

. Τότε, στα αριστερά έχουμε το ολοκλήρωμα της $\frac{a_1}{z}$ , ενώ στα δεξιά έχουμε το ολοκλήρωμα της $\frac{a_o+a_1z}{z^2}$ . Μιας και το ολοκλήρωμα της $\frac{a_o}{z^2}$ είναι 0 (αφού έχει αντιπαράγωγο), τα δύο αυτά ολοκληρώματα συμπίπτουν.

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση