ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Mαριάννα · #1

Καλησπέρα σας !
Είναι σωστό ότι $\int_{C} \frac{1}{(z^{2}+2i)^{2}}dz = \frac{-\pi \cdot i\cdot (1-i)}{8}$ , όπου

είναι ο θετικά προσανατολισμένος κύκλος με κέντρο

και ακτίνα

;

ευχαριστώ πολύ !

Tolaso J Kos · #2

Mαριάννα έγραψε:Καλησπέρα σας !
Είναι σωστό ότι $\int_{C} \frac{1}{(z^{2}+2i)^{2}}dz = \frac{-\pi \cdot i\cdot (1-i)}{8}$ , όπου είναι ο θετικά προσανατολισμένος κύκλος με κέντρο και ακτίνα ;

ευχαριστώ πολύ !

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(z)=\frac{1}{(z^2+2i)^2}}$ έχει πόλους τάξης

τους

και

. Ο κύκλος σου καθώς και οι πόλοι στο μιγαδικό επίπεδο φαίνονται στο παρακάτω σχήμα:
$\begin{tikzpicture} \draw [->] (-2, 0) -- (3, 0); \draw [->] (0, -2) -- (0, 4); \draw (2.99, 0) node[below]{x}; \draw (0, 3.99) node[left]{y}; \draw [dashed] (0, 1) circle (2 cm); \draw (1, 3) node[right]{\mathcal{C}}; \draw [fill=blue!20!] (-1, 1) circle (2 pt); \draw [fill=blue!20!] (1, -1) circle (2pt); \draw (-1, 1) node[above]{i-1}; \draw (1, -1) node[below]{1-i}; \end{tikzpicture}$ Τώρα από το σχήμα πάνω βλέπουμε ότι μόνο ο πόλος z_1=i-1

βρίσκεται μέσα στο contour μας. Συνεπώς
$\displaystyle{\begin{aligned} \ointctrclockwise \limits_{\mathcal{C}} f(z) \, {\rm d}z &= \ointctrclockwise \limits_{\left | z-i \right |=2} \frac{{\rm d}z}{\left ( z^2+2i \right )^2} \\ &= 2\pi i \mathfrak{Res} \left ( f; z=i-1 \right )\\ &=2 \pi i \left ( \frac{i}{16} - \frac{1}{16} \right ) \\ &= -\frac{\pi}{8}- i \frac{\pi}{8}\\ &= -\frac{\pi}{8}\left ( 1+i \right )\\ &= -\frac{\pi}{8}i \left ( 1-i \right ) \end{aligned}}$ οπότε είσαι σωστή. Για τον υπολογισμό του residue χρησιμοποιήσαμε το τύπο από εδώ. (Limit formula for higher order poles)

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση