Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Φεβ 26, 2010 1:10 pm

Από putnam :

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx}.

(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Μαρ 03, 2010 3:46 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Από putnam :

Ας υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx}.

(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;
Δίνω μια λύση γιατί μάλλον ξεχάστηκε.

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\tan^{-1}\pi x-\tan^{-1}x}{x}\,dx=\int_{0}^{+\infty}\Big(\frac{1}{x}\int_{x}^{\pi x}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy\Big)\,dx=}

\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\Big(\int_{1}^{\pi}\frac{1}{1+(ux)^{2}}\,du\Big)\,dx\stackrel{Fubini}{=}\int_{1}^{\pi}\Big(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+(ux)^{2}}\,dx\Big)\,du}\stackrel{ux=t}{=}\int_{1}^{\pi}\frac{1}{u}\Big(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt\Big)\,du=

\displaystyle{\int_{1}^{\pi}\frac{\pi}{2}\frac{1}{u}\,du=\frac{\pi}{2}\ln\pi}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Μαρ 03, 2010 5:04 pm

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:(Σε περίπτωση που κάποιος το λύσει) υπάρχει κανένα βιβλίο που να έχει μαζεμένα παραδείγματα με ολοκληρώματα που υπολογίζονται με αυτές τις μεθόδους;
Λοιπόν Αναστάση, όχι. Δεν έχω υπόψιν κάποιο τέθοιο βιβλίο..Θα το κοιτάξω όμως και θα σου πω....


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Broly
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2010 11:29 pm

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Broly » Τετ Μαρ 03, 2010 5:52 pm

Από ποια χρονιά του Putnam είναι αυτό το πρόβλημα?
Πρέπει να είναι σχετικά παλιό γιατί δεν το έχει πάρει πουθενά το μάτι μου.


~Κώστας
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα με τόξο εφαπτομένης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Τετ Μαρ 03, 2010 11:47 pm

Broly έγραψε:Από ποια χρονιά του Putnam είναι αυτό το πρόβλημα?
Πρέπει να είναι σχετικά παλιό γιατί δεν το έχει πάρει πουθενά το μάτι μου.
Είναι το Α3 του 1982..


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης