Άνω φράγμα

andromeda.pappa · #1

Έστω

δεν ανήκει στο

άνω φράγμα ενός συνόλου

. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\varepsilon > 0, \exists a \in A$ τέτοιο ώστε $s−\varepsilon < a$ , αν και μόνο αν, για κάθε $\varepsilon > 0$ , υπάρχουν άπειρα στοιχεία του

γνήσια μεγαλύτερα του $s−\varepsilon$ .

Μάρκος Βασίλης · #2

Έστω

ένα μη κενό σύνολο και έστω $s\not\in A$ ένα άνω φράγμα του. Το αντίστροφο είναι προφανές, οπότε μας μένει το ευθύ.

Έστω, λοιπόν, $\epsilon>0$ οπότε υπάρχει $a_0\in A$ τέτοιο ώστε $s-\epsilon<a_0$ . Τότε, αφού το $s\not\in A$ έπεται ότι s-a_0>0

, άρα για
$\epsilon_1=s-a_0>0$ υπάρχει, εξ υποθέσεως, $a_1\in A$ τέτοιο ώστε $s-\epsilon_1<a_1$ . Από εδώ έπεται και ότι a_0<a_1

, άρα και ότι $s-\epsilon<a_1$ .

Επαγωγικά, κατασκευάζουμε ακολουθία $(a_n)_n\subseteq A$ τέτοια ώστε:

$a_{n+1}>a_n$

$a_n\in A$

$s-\epsilon<a_n$ .

Από τα παραπάνω έπεται ότι οι όροι της (a_n)_n

είναι διακεκριμένοι ανά δύο, άρα υπάρχουν άπειρα στοιχεία του

μεγαλύτερα του $s-\epsilon$ .

Εναλλακτικά, μπορείς να το σκεφτείς ως εξής:

Η πρόταση «για κάθε $\epsilon>0$ υπάρχει $a\in A$ με $s-\epsilon<a$ » ισοδυναμεί με το ότι $s=\sup A$ . Επομένως, υπάρχει ακολουθία στοιχείων του

, έστω

με $a_n\to s$ . Δεδομένου ότι $s\not\in A$ , η (a_n)_n

δεν είναι τελικά σταθερή, άρα το σύνολο:

$A_\epsilon=\{a_n\mid s-\epsilon<a_n,\ n\in\mathbb{N}\}\subseteq A$

είναι άπειρο (αυτό ίσως θέλει μία μικρή απόδειξη).

#3

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 1:51 pm
Έστω ένα μη κενό ...

Θα είναι εποικοδομητικό να ξαναδιαβάσουμε το ποστ #6 εδώ

Η συγκεκριμένη δεν έχει καν καταλάβει ότι η παραπάνω ερώτηση είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν, πράγμα που ερμηνεύει γιατί ρωτάει το ίδιο πράγμα δύο φορές.

Και καλό είναι να μην απαντάμε σε ερωτήσεις που παραβιάζουν τον κανονισμό μας, π.χ. ως προς την γραφή σε latex. Βλέπε για παράδειγμα το ποστ #3 εδώ σε θρεντ της ίδιας που ανερυθρίαστα μας αγνόησε. Δεν μας φταίνε σε τίποτα οι Γενικοί μας Συντονιστές που ακούραστα διορθώνουν τα κακώς γραμμένα. Επειδή έχω κάνει και εγώ την ίδια δουλειά μερικά χρόνια, ξέρω τι λέω.

Μάρκος Βασίλης · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 2:50 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 1:51 pm
Έστω ένα μη κενό ...

Θα είναι εποικοδομητικό να ξαναδιαβάσουμε το ποστ #6 εδώ

Η συγκεκριμένη δεν έχει καν καταλάβει ότι η παραπάνω ερώτηση είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν, πράγμα που ερμηνεύει γιατί ρωτάει το ίδιο πράγμα δύο φορές.

Και καλό είναι να μην απαντάμε σε ερωτήσεις που παραβιάζουν τον κανονισμό μας, π.χ. ως προς την γραφή σε latex. Βλέπε για παράδειγμα το ποστ #3 εδώ σε θρεντ της ίδιας που ανερυθρίαστα μας αγνόησε. Δεν μας φταίνε σε τίποτα οι Γενικοί μας Συντονιστές που ακούραστα διορθώνουν τα κακώς γραμμένα. Επειδή έχω κάνει και εγώ την ίδια δουλειά μερικά χρόνια, ξέρω τι λέω.

Σωστά τα όσα ειπώθηκαν. Επομένως, να διαγράψω, καλύτερα, την απάντηση;

#5

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 10:58 pm

Σωστά τα όσα ειπώθηκαν. Επομένως, να διαγράψω, καλύτερα, την απάντηση;

Δεν υπάρχει λόγος. Άλλωστε η λύση ήδη διαβάστηκε από την φοιτήτρια που έθεσε το ερώτημα.

Από εδώ και πέρα ας ενθαρρύνουμε τον οποιοδήποτε φοιτητή για αυτενέργεια δίνοντας, σε πρώτο στάδιο, μόνο κατευθύνσεις και υποδείξεις. Σε περιπτώσεις που φαίνεται από την εργασία του ότι έκανε ουσιαστική προσπάθεια, μπορούμε να είμαστε περισσότερο αναλυτικοί. Προϋπόθεση είναι να έχει μελετήσει τα βιβλία που παίρνει δωρεάν από το κράτος.

Να 'σαι καλά.

Μάρκος Βασίλης · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 12, 2019 1:40 am

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 11, 2019 10:58 pm

Σωστά τα όσα ειπώθηκαν. Επομένως, να διαγράψω, καλύτερα, την απάντηση;
Δεν υπάρχει λόγος. Άλλωστε η λύση ήδη διαβάστηκε από την φοιτήτρια που έθεσε το ερώτημα.

Από εδώ και πέρα ας ενθαρρύνουμε τον οποιοδήποτε φοιτητή για αυτενέργεια δίνοντας, σε πρώτο στάδιο, μόνο κατευθύνσεις και υποδείξεις. Σε περιπτώσεις που φαίνεται από την εργασία του ότι έκανε ουσιαστική προσπάθεια, μπορούμε να είμαστε περισσότερο αναλυτικοί. Προϋπόθεση είναι να έχει μελετήσει τα βιβλία που παίρνει δωρεάν από το κράτος.

Να 'σαι καλά.

Έγινε! Ευχαριστώ για την πολύτιμη καθοδήγηση!

Άνω φράγμα

Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Re: Άνω φράγμα

Μέλη σε σύνδεση