Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Ιουν 23, 2020 2:10 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω p(x) πολυώνυμο. Ἂν ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου

\displaystyle{ 
p''(x)-3p'(x)+p(x) 
}

εἶναι μιγαδικές, τότε καὶ ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου p(x) εἶναι μιγαδικές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8527
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Ιουν 23, 2020 5:27 pm

Φαντάζομαι το p(x) έχει πραγματικούς συντελεστές. Αλλιώς το p(x) = x(x+i) είναι αντιπαράδειγμα.

Από συνέχεια μπορούμε να υποθέσουμε ότι p''(x) - 3p'(x) + p(x) > 0 για κάθε x. Αλλιώς εργαζόμαστε με το πολυώνυμο q(x) = -p(x).


Έστω \lambda = -\frac{3-\sqrt{5}}{2}. Το \lambda ικανοποιεί την εξίσωση \lambda^2 + 3\lambda + 1 = 0.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με τύπο f(x) = (p'(x) + \lambda p(x))e^{x/\lambda}. Τότε

\displaystyle  f'(x) = \left(p''(x) + \left(\lambda + \frac{1}{\lambda}\right) p'(x) + p(x)\right)e^{x/\lambda} = \left(p''(x) -3p'(x) + p(x)\right)e^{x/\lambda}

Τότε f'(x) > 0 για κάθε x \in \mathbb{R}. Επίσης είναι \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. Από αυτά τα δύο παίρνουμε ότι f(x) < 0 για κάθε x \in \mathbb{R} από το οποίο προκύπτει και ότι p'(x) + \lambda p(x) < 0 για κάθε x \in \mathbb{R}.

Τώρα εργαζόμαστε με την g(x) = p(x)e^{\lambda x}. Παίρνουμε g'(x) =(p'(x) + \lambda p(x) )e^{\lambda x}. Είναι g'(x) < 0 για κάθε x \in \mathbb{R} και \displaystyle  \lim_{x\to +\infty} g(x) = 0. Άρα g(x) > 0 για κάθε x \in \mathbb{R} από το οποίο προκύπτει το ζητούμενο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12521
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολυώνυμα μὲ μιγαδικὲς ρίζες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιουν 24, 2020 12:06 am

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:
Τρί Ιουν 23, 2020 2:10 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω p(x) πολυώνυμο. Ἂν ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου

\displaystyle{ 
p''(x)-3p'(x)+p(x) 
}

εἶναι μιγαδικές, τότε καὶ ὅλες οἱ ρίζες τοῦ πολυωνύμου p(x) εἶναι μιγαδικές.

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι τα πολυώνυμα περιττού βαθμού (με πραγματικούς συντελεστές) έχουν τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.

Αφού το p''(x)-3p'(x)+p(x) έχει μόνο μιγαδικές ρίζες, είναι άρτιου βαθμού. Άρα και το p, το οποίο βέβαια έχει τον ίδιο βαθμό με το προηγούμενο, είναι άρτιου βαθμού.

Πηγαίνοντας για άτοπο, έστω ότι το p έχει πραγματική ρίζα. Άρα, ως άρτιου βαθμού, θα έχει και δεύτερη πραγματική ρίζα (μετράω και τις πολλαπλότητες), οπότε για κάθε 0\ne a \in \mathbb R το p(x)e^{ax} έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. Από Rolle το (p(x)e^{ax})΄, δηλαδή το (p'(x)+ap(x))e^{ax}, έχει πραγματική ρίζα, οπότε το p'(x)+ap(x) έχει πραγματική ρίζα.

Το p'(x)+ap(x) ως άρτιου βαθμού, θα έχει και δεύτερη πραγματική ρίζα, οπότε για κάθε 0\ne b \in \mathbb R το (p'(x)+ap(x))e^{bx} έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες. Από Rolle το

 ((p'(x)+ap(x))e^{bx})΄, δηλαδή το  (p''(x)+(a+b)p'(x)+abp(x))e^{bx}, έχει πραγματική ρίζα, οπότε το p''(x) +(a+b)p'(x)+abp(x) έχει πραγματική ρίζα. Επιλέγοντας ως a,b τους πραγματικούς με a+b=-3,\,ab=1, το προηγούμενο δίνει ότι το p''(x) -3p'(x)+p(x) έχει πραγματική ρίζα. Άτοπο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης