Πρώτη άθροιση

Tolaso J Kos · #1

Έστω

ο

- οστός πρώτος. Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \log p_n}{p_n^2 -1}}$
Το δε λογίζεται ως πρώτος.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Ισχύει:

$\dfrac{1}{p^2-1}=\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{p^4}+...$ (άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου).

Επομένως , η σειρά γράφεται:

$\sum_{n=1}^{\infty }(\dfrac{logp_{n}}{p_{n}^2}+\dfrac{logp_{n}}{p_{n}^4}+...)=\dfrac{\Lambda (1)}{1^2}+\dfrac{\Lambda (2)}{2^2}+...=\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{\Lambda (n)}{n^2}=-\dfrac{\zeta '(2)}{\zeta (2)}$

Η συνάρτηση $\Lambda (n)$ είναι η συνάρτηση Von Mangoldt. Στον ίδιο σύνδεσμο αναφέρεται και η τελική σχέση που χρησιμοποίησα στη λύση.

Πρώτη άθροιση

Πρώτη άθροιση

Re: Πρώτη άθροιση

Μέλη σε σύνδεση