Ασκηση θεωριας μετρου

[dim1997]

΄Εστω A μια οικογένεια υποσυνόλων του N με τις ακόλουθες ιδιότητες:
(α) Αν A ⊂ N και τα A και N \ A είναι και τα δύο άπειρα σύνολα, τότε A ∈ A αν και μόνο αν N \ A /∈ A.
(β) Αν A ∈ A και B είναι πεπερασμένο υποσύνολο του N, τότε A ∪ B ∈ A και A \ B ∈ A.
Αποδείξτε ότι το σύνολο E ={}
δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο.
Επίσης, αν θέλετε, αποδείξτε ότι υπάρχει οικογένεια A υποσυνόλων του N που ικανοποιεί τα (α) και (β)

[Mihalis_Lambrou]

΄Εστω A μια οικογένεια υποσυνόλων του N με τις ακόλουθες ιδιότητες:
(α) Αν A ⊂ N και τα A και N \ A είναι και τα δύο άπειρα σύνολα, τότε A ∈ A αν και μόνο αν N \ A /∈ A.
(β) Αν A ∈ A και B είναι πεπερασμένο υποσύνολο του N, τότε A ∪ B ∈ A και A \ B ∈ A.
Αποδείξτε ότι το σύνολο E ={\sum 1/2^n (n\epsilon B) : B\epsilon A }
δεν είναι Lebesgue μετρήσιμο.
Επίσης, αν θέλετε, αποδείξτε ότι υπάρχει οικογένεια A υποσυνόλων του N που ικανοποιεί τα (α) και (β)

Καλώς ήλθες στο mathematika.

Γράψε σε παρακαλώ το ποστ σου σε latex όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας (μπορείς να τους βρεις στην πρώτη σελίδα τοθ φόρουμ).

Επίσης δεν βλέπω γιατί ανάρτησες την ίδια ερώτηση δύο φορές. Μπορείς να σβήσεις την μία.