Φραγή παραγώγων λύσεων ΣΔΕ

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ ἡ ὁποία εἶναι φορές συνεχῶς διαφορίσιμη, καί $\varphi : (a,b)\to \mathbb R$ συνάρτηση ἡ ὁποία ἱκανοποιεῖ τὴν ἐξίσωση

$\displaystyle{ \varphi'(t)=f\big(t,\varphi(t)\big), \quad t\in (a,b). }$

Ἂν τὸ διάστημα εἶναι φραγμένο καὶ ἡ $\varphi$ εἶναι φραγμένη ἐπὶ τοῦ , δείξατε ὅτι ὅλες οἱ παράγωγοι τῆς $\varphi$ ,
ἔως καὶ τάξεως εἶναι ἐπίσης φραγμένες ἐπὶ τοῦ .

#2

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 27, 2022 9:44 pm
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ ἡ ὁποία εἶναι φορές συνεχῶς διαφορίσιμη, καί $\varphi : (a,b)\to \mathbb R$ συνάρτηση ἡ ὁποία ἱκανοποιεῖ τὴν ἐξίσωση

$\displaystyle{ \varphi'(t)=f\big(t,\varphi(t)\big), \quad t\in (a,b). }$

Ἂν τὸ διάστημα εἶναι φραγμένο καὶ ἡ $\varphi$ εἶναι φραγμένη ἐπὶ τοῦ , δείξατε ὅτι ὅλες οἱ παράγωγοι τῆς $\varphi$ ,
ἔως καὶ τάξεως εἶναι ἐπίσης φραγμένες ἐπὶ τοῦ .

Για την φραγμένη στο (ανοικτό) διάστημα (a,b)

συνάρτηση $\phi$ , θα δείξουμε πρώτα ότι τα πλευρικά όρια $\displaystyle{\lim _{t\to a+}\phi (t)\,\, \lim _{t\to b-}\phi (t)}$ , υπάρχουν. Με αυτό μπορούμε να την επεκτείνουμε συνεχώς στο $[a,\, b]$ .

Έστω λοιπόν ακολουθία $t_n\in (a,b)$ με $\lim t_n=b$ . Είναι $|\phi (t_n) | \le ||\phi ||_{\infty}$ , οπότε από Bοlzano -Weierstrass υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία $\phi (t_{n_k})$ . Χωρίς βλάβη η ίδια η αρχική $\phi(t_n)$ συγκλίνει, έστω στο

, όπου βέβαια $\displaystyle{|L|\le ||\phi ||_{\infty} }$ .

Έχουμε τότε από την δοθείσα με ολοκλήρωση και για κάθε σταθερό $t\in (a,\,b)$ και t_n>t

(που ισχύει για όλα τα

από έναν δείκτη και πέρα, και ασχολούμεστε μόνο με αυτά) ότι

$\displaystyle{\left | \phi (t) - \phi (t_n)\right |=\left | \int_{t_n}^{t} f(x,\phi(x))dx \right |\le \int _{t_n}^{t} \left | f(x,\phi(x)) \right |dx\, (*)}$

Tώρα, η

ως συνεχής, είναι φραγμένη στο $[a,\, b]\times [ -||\phi ||_{\infty},\, ||\phi ||_{\infty}]$ , έστω από το

. Οπότε η

δίνει

$\displaystyle{\left | \phi (t) - \phi (t_n)\right |\le M \left |t-t_n|}$ .

Παίρνοντας όριο έχουμε $\displaystyle{\left | \phi (t) - L\right |\le M \left |t-b|}$ , από όπου το ζητούμενο. Όμοια η περίπτωση του άλλου πλευρικού ορίου.

Έτσι επεκτείνουμε την $\phi$ συνεχώς στα άκρα, και από την αρχική είναι και παραγωγίσιμη. Όμοια για τις παραπάνω παραγώγους μέχρι την k+1

, αφού πρώτα παραγωγίσουμε την αρχική.

Φραγή παραγώγων λύσεων ΣΔΕ

Φραγή παραγώγων λύσεων ΣΔΕ

Re: Φραγή παραγώγων λύσεων ΣΔΕ

Μέλη σε σύνδεση