μεγιστο

kwstas12345 · #1

Άν η

είναι μια συνεχής και θετική στο $\displaystyle \left[0,3 \right]$ να βρεθείη μέγιστη τιμής της παράστασης:

$\displaystyle A=\frac{\left(\int_{0}^{1}{f\left(x \right)dx} \right)^{3}}{\int_{0}^{3}{f^{3}\left(x \right)}dx}$

Φιλικά,
Κώστας

Ανδρέας Πούλος · #2

Δύο φορές έχω επιχειρήσει να δημοσιεύσω την απάντησή μου και τις δύο φορές, μόλις πατάω "υποβολή", το σύστημα με πετάει έξω και ζητάει πάλι κωδικό κλπ.
Ξέρει κάποιος τι να κάνω;
Υπόψη, δεν έχω ψηφίσει ποτέ τον αιωνόβιο βουλευτή Κ.Μ.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #3

Θα στείλω ανά παράγραφο την απάντησή μου, επειδή και τρίτη φορά προσπάθησα και το σύστημα με πέταξε έξω.
Η ιδέα της λύσης βασίζεται στην ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων να διαθέτουν ελάχιστη και μέγιστη τιμή,
όταν είναι ορισμένες σε κλειστό διάστημα.
Έτσι, για τη συγκεκριμένη συνάρτηση στο διάστημα [0, 1] θα διαθέτει μέγιστη τιμή, δηλαδή για κάθε x του [0, 1]
ισχύει
$f(x) \leq f(x_{1})$ .
Συνεπώς, θα ισχύει και η σχέση $\left(\int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)^{3} \leq \left(\int_{0}^{1}{f(x_{1}})dx \right)^{3}$ , (1).

Ανδρέας Πούλος · #4

Θα στείλω ανά παράγραφο την απάντησή μου, επειδή και τρίτη φορά προσπάθησα και το σύστημα με πέταξε έξω.
Η ιδέα της λύσης βασίζεται στην ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων να διαθέτουν ελάχιστη και μέγιστη τιμή,
όταν είναι ορισμένες σε κλειστό διάστημα.
Έτσι, για τη συγκεκριμένη συνάρτηση στο διάστημα [0, 1] θα διαθέτει μέγιστη τιμή, δηλαδή για κάθε x του [0, 1]
ισχύει
$f(x) \leq f(x_{1})$ .
Συνεπώς, θα ισχύει και η σχέση $\left(\int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)^{3} \leq \left(\int_{0}^{1}{f(x_{1}})dx \right)^{3}$ , (1).
Επίσης, για τη συνάρτηση αυτή στο διάστημα [0, 3] θα υπάρχει μία ελάχιστη τιμή, δηλαδή θα ισχύει $f(x) \geq f(x_{2})$ για όλα τα x του [0, 3].
Αυτό σημαίνει ότι $\frac{1}{\left(\int_{0}^{3}{f^{3}(x)dx} \right)} \leq \frac{1\left( }{\int_{0}^{3}{f^{3}(x_{2})dx}}\right)$ , (2)

Ανδρέας Πούλος · #5

Θα στείλω ανά παράγραφο την απάντησή μου, επειδή και τρίτη φορά προσπάθησα και το σύστημα με πέταξε έξω.
Η ιδέα της λύσης βασίζεται στην ιδιότητα των συνεχών συναρτήσεων να διαθέτουν ελάχιστη και μέγιστη τιμή,
όταν είναι ορισμένες σε κλειστό διάστημα.
Έτσι, για τη συγκεκριμένη συνάρτηση στο διάστημα [0, 1] θα διαθέτει μέγιστη τιμή, δηλαδή για κάθε x του [0, 1]
ισχύει
$f(x) \leq f(x_{1})$ .
Συνεπώς, θα ισχύει και η σχέση $\left(\int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)^{3} \leq \left(\int_{0}^{1}{f(x_{1}})dx \right)^{3}$ , (1).
Επίσης, για τη συνάρτηση αυτή στο διάστημα [0, 3] θα υπάρχει μία ελάχιστη τιμή, δηλαδή θα ισχύει $f(x) \geq f(x_{2})$ για όλα τα x του [0, 3].

Αυτό σημαίνει ότι $\frac{1}{\left(\int_{0}^{3}{f^{3}(x)dx} \right)} \leq \frac{1\left( }{\int_{0}^{3}{f^{3}(x_{2})dx}}\right)$ , (2).

Με πολλαπλασιασμό των σχέσεων (1) και (2) κατά μέλη και με δεδομένο ότι πρόκειται για θετικούς αριθμούς,
προκύπτει το ζητούμενο, δηλαδή η μέγιστη τιμής της παράστασής μας είναι ο αριθμός

$\frac{\left(\int_{0}^{1}{f(x_{1})dx} \right)^{3}}^{\int_{0}^{3}{f^{3}(x_{2})dx}}{}$ .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#6

kwstas12345 έγραψε:Άν η είναι μια συνεχής και θετική στο $\displaystyle \left[0,3 \right]$ να βρεθείη μέγιστη τιμής της παράστασης:

$\displaystyle A=\frac{\left(\int_{0}^{1}{f\left(x \right)dx} \right)^{3}}{\int_{0}^{3}{f^{3}\left(x \right)}dx}$

Φιλικά,
Κώστας

Κώστα, υποθέτω ότι υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα; Το πάνω ολοκλήρωμα πρέπει να είναι έως το 3;

Δεύτερον, υποθέτω ότι η ερώτηση εννοεί "να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης Α, ως προς όλες τις συνεχείς και θετικές f στο [0, 3]" . Δηλαδή η μεταβλητή είναι η f.

Σωστά;

Αν είναι έτσι τότε βγαίνει από την "power mean inequality" που στη περίπτωσή μας είναι (γενικότερα για f στο [a, b])
$\frac {\int_a^bf^3(x)dx}{b-a}\ge \left(\frac {\int_a^bf(x)dx}{b-a}\right)^3$

Aπό εκεί εύκολα βλέπουμε ότι το ζητούμενο μέγιστο είναι (b-a)^2

Μ.

Edit: Πρόσθεσα την λύση (μετά το "Σωστά") αλλά η απάντησή μου διασταυρώθηκε με του Θάνου. Όταν δηλαδή πάτησα το κουμπί, είδα ότι ο Θάνος είχε εν τω μεταξύ στείλει λύση.

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
kwstas12345 έγραψε:Άν η είναι μια συνεχής και θετική στο $\displaystyle \left[0,3 \right]$ να βρεθείη μέγιστη τιμής της παράστασης:

$\displaystyle A=\frac{\left(\int_{0}^{1}{f\left(x \right)dx} \right)^{3}}{\int_{0}^{3}{f^{3}\left(x \right)}dx}$

Φιλικά,
Κώστας
Κώστα, υποθέτω ότι υπάρχει τυπογραφικό σφάλμα; Το πάνω ολοκλήρωμα πρέπει να είναι έως το 3;

Δεύτερον, υποθέτω ότι η ερώτηση εννοεί "να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης Α, ως προς όλες τις συνεχείς και θετικές f στο [0, 3]" . Δηλαδή η μεταβλητή είναι η f.

Σωστά;

Μ.

κ. Λάμπρου και εγώ το ίδιο σκεφτόμουν, ότι πρέπει να υπάρχει τυπογραφικό λάθος. Αν τελικά το ζητούμενο είναι η εύρεση του μεγίστου ως προς όλες τις συνεχείς θετικές συναρτήσεις, της παράστασης

$\displaystyle{\frac{\left(\int_{0}^{3} f(x)dx\right)^3}{\int_{0}^{3}(f(x))^3dx},}$

η απάντηση βρίσκεται με χρήση της ανισότητας Hölder για $\displaystyle{p=3, q=\frac{3}{2}}$ και είναι το

, τιμή η οποία πιάνεται για τις (θετικές) σταθερές.

μεγιστο

μεγιστο

Re: μεγιστο

Re: μεγιστο

Re: μεγιστο

Re: μεγιστο

Re: μεγιστο

Re: μεγιστο

Μέλη σε σύνδεση