ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ -ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Mαριάννα · #1

Καλησπέρα σας !
Θα ήθελα τη βοήθεια σας στην παρακάτω άσκηση.
Η οθόνη ενός ραντάρ είναι κυκλική με ακτίνα

. Λόγω θορύβου από παρεμβολές, ένα στίγμα μπορεί να μετακινηθεί σε οποιαδήποτε θέση της οθόνης. Ποια είναι η μέση τιμή

και διασπορα var(R)

της απόστασης

του στίγματος από το κέντρο της οθόνης ;;
Γνωρίζω ότι $m=E(X)=\sum_{x}xf_{X}(x)$ , αν

είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή και $m=E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)dx$ , αν

είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή. Όμως δεν μπορώ να σκεφτώ πως πρέπει να συνεχίσω.
σας ευχαριστώ !

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εφόσον μας ενδιαφέρει η απόσταση από το κέντρο μπορούμε να θεωρήσουμε το πρόβλημα μονοδιάστατο.
Δηλαδή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και περνούμε σε αυτό ένα τυχαίο σημείο.
Η τυχαία μεταβλητή είναι η απόσταση από το άκρο.
Σκέψου τι κατανομή έχουμε.
Μετά όλα είναι εύκολα.

Συμπλήρωμα.
παραπάνω έγραψα:
Δηλαδή έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και περνούμε σε αυτό ένα τυχαίο σημείο.

Η παραπάνω φράση παραπέμπει σε ομοιόμορφη κατανομή.
Εδω όμως δεν έχουμε ομοιόμορφη κατανομή.
Μπορούμε να βρούμε την κατανομή χρησιμοποιώντας γεωμετρική πιθανότητα.

Ευχαριστώ το Δημήτρη που με Π.Μ μου επισήμανε την ασάφεια.

Mαριάννα · #3

Καλησπέρα σας !
Έστω ότι το σημείο $K(x_{1},y_{1})$ είναι το κέντρο της κυκλικής οθόνης και $A(x_{2},y_{2})$ η θέση του στίγματος. 'Αρα $R=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ .
Άρα, $E(R)=\int r\cdot f_{R}(r) dr$ . Πόσο ειναι όμως το $f_{R}(r)$ και ποια τα άκρα του ολοκληρώματος ;
Κάθε βοήθεια σας είναι ευπρόσδεκτη.
ευχαριστώ !