Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 03, 2024 11:43 pm
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές
Βρήκα αυτό το πρόβλημα σε ένα βιβλίο. Μάλλον πρέπει να χρησιμοποιήσω Chebyshev ή Central Limit Theorem. Θα εκτιμούσα πολύ οποιαδήποτε βοήθεια.
The task is to numerically estimate an integral. Here is the setting: suppose is a bounded real-valued function, , defined on the unit interval . You are not told anything more about the function explicitly but you have access to a friendly oracle: if you prompt her with any given value , she will loop up the function value and whisper it to you. Your task is to estimate the value . \newline
Select independently at random from the uniform distribution on the unit interval, obtain the values from your friendly oracle, and boldly evaluate and proffer the value as your estimate of . A common, garden variety laptop can compute your estimate in a fraction of a second if but is it any good? In defence of your starting procedure, with , estimate , the probability that your estimate makes an error of more than one percent. [Hint: if Uniform[0,1], stare at the expression for ]
The task is to numerically estimate an integral. Here is the setting: suppose is a bounded real-valued function, , defined on the unit interval . You are not told anything more about the function explicitly but you have access to a friendly oracle: if you prompt her with any given value , she will loop up the function value and whisper it to you. Your task is to estimate the value . \newline
Select independently at random from the uniform distribution on the unit interval, obtain the values from your friendly oracle, and boldly evaluate and proffer the value as your estimate of . A common, garden variety laptop can compute your estimate in a fraction of a second if but is it any good? In defence of your starting procedure, with , estimate , the probability that your estimate makes an error of more than one percent. [Hint: if Uniform[0,1], stare at the expression for ]
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 27, 2024 10:03 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Υπολογίστε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας ομοιόμορφες τυχαίες μεταβλητές
Καλησπέρα και καλή ανάσταση. Αν και λιγο μπερδεμένη η άσκηση, ορίστε μια προσέγγιση που σκέφτηκα χρησιμοποιώντας την chebychev.
Έχουμε το ολοκλήρωμα , όπου είναι μια φραγμένη πραγματική συνάρτηση, και ορισμένη στο διάστημα μονάδας .
να εκτιμήσουμε το . Θα επιλέξουμε τυχαία από μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα μονάδας και θα λάβουμε τις τιμές
Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την εκτίμηση ως:
Τώρα, ας υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή και τη διακύμανση της .
Η αναμενόμενη τιμή είναι το ολοκλήρωμα της από 0 έως 1:
Η διακύμανση μπορεί να υπολογιστεί ως:
Λαμβάνοντας υπόψη ότι , έχουμε , που σημαίνει . Έτσι:
Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης: .
Τώρα, εφαρμόζοντας το ανισότερο του Chebyshev:
Εισάγοντας τις παραπάνω εκφράσεις:
Δεδομένου , μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος.
Έχουμε το ολοκλήρωμα , όπου είναι μια φραγμένη πραγματική συνάρτηση, και ορισμένη στο διάστημα μονάδας .
να εκτιμήσουμε το . Θα επιλέξουμε τυχαία από μια ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα μονάδας και θα λάβουμε τις τιμές
Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε την εκτίμηση ως:
Τώρα, ας υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή και τη διακύμανση της .
Η αναμενόμενη τιμή είναι το ολοκλήρωμα της από 0 έως 1:
Η διακύμανση μπορεί να υπολογιστεί ως:
Λαμβάνοντας υπόψη ότι , έχουμε , που σημαίνει . Έτσι:
Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης: .
Τώρα, εφαρμόζοντας το ανισότερο του Chebyshev:
Εισάγοντας τις παραπάνω εκφράσεις:
Δεδομένου , μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα σφάλματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης