Πρώτοι αριθμοί

#1

Ανοιχτό πρόβλημα: Στην άσκηση αυτή βρέθηκαν τέσσερις πρώτοι αριθμοί a = PA = 19,b = PB = 11,

ώστε

Το ερώτημα είναι πόσες τέτοιες τετράδες πρώτων

αριθμών υπάρχουν, αν είναι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους. Είναι άραγε άπειρος ο αριθμός τους; Δίνω άλλες δύο

τετράδες: (13,17,31,29), (19,23,43,41).

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #2

george visvikis έγραψε: Πέμ Φεβ 28, 2019 11:10 am Ανοιχτό πρόβλημα: Στην άσκηση αυτή βρέθηκαν τέσσερις πρώτοι αριθμοί

ώστε Το ερώτημα είναι πόσες τέτοιες τετράδες πρώτων

αριθμών υπάρχουν, αν είναι διαφορετικοί ανά δύο μεταξύ τους. Είναι άραγε άπειρος ο αριθμός τους; Δίνω άλλες δύο

τετράδες:

Επειδή $a^2+c^2=b^2+d^2 \Leftrightarrow a^2-b^2=d^2-c^2$
Υποθέτοντας ότι a>b

ψάχνουμε για τους θετικούς άρτιους που μπορούν να γραφούν ως διαφορά τετραγώνων δύο τουλάχιστον ζευγών πρώτων αριθμών, διαφορετικών ανά δύο.
Είναι
72=11^2-7^2=19^2-17^2

.
...

...

Μεταξύ των προηγούμενων αριθμών υπάρχουν και πολλοί άλλοι που γράφονται με τον ίδιο τρόπο.

Ακόμη, υπάρχουν

ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 526680

,

ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 2042040

και

ζευγάρια πρώτων που η διαφορά τετραγώνων τους είναι ίση με 2984520

Φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες τετράδες, αλλά απομένει να αποδειχτεί.

KARKAR · #3

Δεν είναι βέβαιο ότι θα βοηθήσει , δείτε πάντως κι αυτό

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Και κάτι ακόμη , που προφανώς δεν είναι απλή σύμπτωση. Όλοι οι αριθμοί που γράφονται ως διαφορά τετραγώνων δύο πρώτων με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους, είναι όλοι - τουλάχιστον μέχρι το 15000000

- πολλαπλάσια του 24.

#5

NIZ έγραψε: Κυρ Μαρ 03, 2019 10:19 pm Και κάτι ακόμη , που προφανώς δεν είναι απλή σύμπτωση. Όλοι οι αριθμοί που γράφονται ως διαφορά τετραγώνων δύο πρώτων με τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους, είναι όλοι - τουλάχιστον μέχρι το - πολλαπλάσια του 24.

Πολύ ενδιαφέρον!

Πρώτοι αριθμοί

Πρώτοι αριθμοί

Re: Πρώτοι αριθμοί

Re: Πρώτοι αριθμοί

Re: Πρώτοι αριθμοί

Re: Πρώτοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση